算法突破：动态规划解决 LeetCode 1510 石子游戏 IV，巧用数据结构简化问题

2024-01-07 09:50:51

前言

LeetCode 1510 石子游戏 IV 是一款两人游戏，由两名玩家轮流从一堆石子里取走 1 个或多个石子。每次，玩家可以选择从堆中取走 1 个或多个相邻的石子。如果堆中只剩下一个石子，则该玩家获胜。

在这个游戏中，玩家的目标是成为最后一个取走石子的玩家。为了实现这一目标，玩家需要制定策略，仔细考虑每一步的行动，并预测对手的下一步行动。

解决此问题，我们可以使用动态规划或记忆化搜索两种方法。动态规划是一种自底向上的方法，它将问题分解成更小的子问题，并逐步解决这些子问题，最终得到问题的整体解决方案。记忆化搜索是一种自顶向下的方法，它会记录已经解决过的子问题的解，以便在需要时快速查阅，从而避免重复计算。

记忆化搜索方法

记忆化搜索方法的思路是，对于每一个子问题，如果我们已经解决了它，那么就直接返回结果；如果我们还没有解决它，那么我们就先解决它，然后将结果存储起来，以便以后使用。

使用记忆化搜索方法解决 LeetCode 1510 石子游戏 IV 问题，我们可以定义一个函数 solve(i, j)，其中 i 和 j 表示当前子问题的范围。这个函数返回一个布尔值，表示先手玩家是否可以在子问题中获胜。

def solve(i, j, memo):
  """
  返回先手玩家是否可以在子问题中获胜。

  Args:
    i: 子问题的起始索引。
    j: 子问题的结束索引。
    memo: 一个字典，用于存储已经解决过的子问题的解。

  Returns:
    一个布尔值，表示先手玩家是否可以在子问题中获胜。
  """

  # 如果子问题已经解决过了，直接返回结果。
  if (i, j) in memo:
    return memo[(i, j)]

  # 如果子问题只剩下一个石子，那么先手玩家获胜。
  if i == j:
    memo[(i, j)] = True
    return True

  # 如果子问题只剩下两个石子，那么先手玩家输了。
  if j - i == 1:
    memo[(i, j)] = False
    return False

  # 对于每个可能的取石子方案，我们都尝试一下，看看先手玩家是否可以获胜。
  for k in range(i, j + 1):
    # 如果先手玩家从子问题的左侧取走了一些石子，那么后手玩家将从子问题的右侧取走一些石子。
    if solve(i, k - 1, memo) and solve(k + 1, j, memo):
      memo[(i, j)] = True
      return True

    # 如果先手玩家从子问题的右侧取走了一些石子，那么后手玩家将从子问题的左侧取走一些石子。
    if solve(i, k, memo) and solve(k + 1, j, memo):
      memo[(i, j)] = True
      return True

  # 如果先手玩家无法在任何情况下获胜，那么后手玩家获胜。
  memo[(i, j)] = False
  return False

使用记忆化搜索方法解决 LeetCode 1510 石子游戏 IV 问题，时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 是石子堆的大小。

动态规划方法

动态规划方法的思路是，我们将问题分解成更小的子问题，然后逐步解决这些子问题，最终得到问题的整体解决方案。与记忆化搜索方法不同的是，动态规划方法不会存储已经解决过的子问题的解，而是直接在子问题的解的基础上计算下一个子问题的解。

使用动态规划方法解决 LeetCode 1510 石子游戏 IV 问题，我们可以定义一个数组 dp，其中 dp[i][j] 表示先手玩家是否可以在子问题中获胜。

def solve(piles):
  """
  返回先手玩家是否可以在游戏中获胜。

  Args:
    piles: 一个数组，表示石子堆的大小。

  Returns:
    一个布尔值，表示先手玩家是否可以在游戏中获胜。
  """

  # 初始化动态规划数组。
  n = len(piles)
  dp = [[False] * n for _ in range(n)]

  # 对于每一个子问题，我们都尝试一下，看看先手玩家是否可以获胜。
  for i in range(n):
    dp[i][i] = True

  for length in range(2, n + 1):
    for i in range(n - length + 1):
      j = i + length - 1

      # 如果先手玩家从石子堆的左侧取走了一些石子，那么后手玩家将从石子堆的右侧取走一些石子。
      if dp[i + 1][j] and piles[i] >= piles[i + 1]:
        dp[i][j] = True

      # 如果先手玩家从石子堆的右侧取走了一些石子，那么后手玩家将从石子堆的左侧取走一些石子。
      if dp[i][j - 1] and piles[j] >= piles[j - 1]:
        dp[i][j] = True

  # 返回先手玩家是否可以在游戏中获胜。
  return dp[0][n - 1]