揭秘三角数列的奥秘：杨辉三角的两种计算方法

探索杨辉三角：递归与迭代的奇妙之旅

在数学迷人的世界中，杨辉三角作为一种神秘而美丽的数列，吸引着无数好奇的头脑。要揭开它的秘密，我们可以沿着两条截然不同的算法之路，它们分别是优雅的递归和高效的迭代。

递归：分而治之的优雅

想象一下，杨辉三角是一个等待探索的庞大迷宫。递归算法就像一个无畏的探险家，将迷宫分解成一个个较小的房间，然后逐一探索。

def pascal_triangle_recursive(n):
    # 终止条件：达到第一行
    if n == 0:
        return [1]
    
    # 分解问题：生成上一行的杨辉三角，组合当前行数字
    previous_row = pascal_triangle_recursive(n - 1)
    current_row = [1]
    for i in range(1, len(previous_row)):
        current_row.append(previous_row[i - 1] + previous_row[i])
    current_row.append(1)
    
    return current_row

递归算法的精髓在于分而治之，它将杨辉三角第 n 行的计算问题分解为第 n-1 行和第 n 行的组合，然后逐层解决这些较小的子问题，直至达到终止条件。这种方法的优雅之处在于，它简洁、易于理解，而且可以针对各种问题进行推广。

迭代：循序渐进的高效

而迭代算法则像一个脚踏实地的工匠，一步一步地搭建杨辉三角。从第一行开始，它逐个生成每一行数字，直到达到规定的行数。

def pascal_triangle_iterative(n):
    pascal_triangle = [[1], [1, 1]]

    for i in range(2, n):
        current_row = [1]
        for j in range(1, i):
            current_row.append(pascal_triangle[i - 1][j - 1] + pascal_triangle[i - 1][j])
        current_row.append(1)
        pascal_triangle.append(current_row)

    return pascal_triangle

迭代算法的优点在于其高效和易于实现。它不需要像递归算法那样维护调用栈，并且可以轻松地应用于需要处理大量数据的场景。

殊途同归：本质相通

尽管递归和迭代采取了不同的方法，但它们殊途同归，都能为我们呈现完整的杨辉三角。两种算法各有优势，递归的优雅简洁适用于解决复杂的问题，而迭代的高效适用于大规模计算。

常见问题解答

• 什么是杨辉三角？
  杨辉三角是一个无穷的三角形数组，其中每行数字都是上一行的两个数字之和。

• 递归和迭代有什么区别？
  递归是一种分而治之的方法，将问题分解成较小的子问题，然后逐一解决。迭代则是一步一步地解决问题，不需要分解子问题。

• 哪种算法更适合计算杨辉三角？
  对于小规模计算，递归算法的简洁性使其成为更好的选择。对于大规模计算，迭代算法的高效性使其更胜一筹。

• 杨辉三角有什么用处？
  杨辉三角在组合学、概率论和计算机科学等领域都有广泛的应用。

• 如何在代码中实现杨辉三角算法？
  在 Python 中，可以使用我们提供的递归或迭代代码实现杨辉三角算法。