挑战无穷尽，剪绳子 II 进阶题型全剖析！

闲谈

2024-01-11 23:58:38

一、剪绳子：进阶与基础的交锋

在“剪绳子”基础题型中，我们面临的任务是将一根长度为 n 的绳子尽可能剪成若干段，使得各段长度的乘积最大。

而“剪绳子 II”则对任务设定进行了升级：

绳子的长度不再受限于整数，而可以是任意正实数。这意味着绳子可以进行任意长度的分割，也不再局限于整段切割。

绳子的长度限制放宽了，但绳段的长度却受到了新的限制：每段绳子的长度必须大于等于 1。

二、直击要害：解决思路分析

面对进阶后的“剪绳子 II”，我们可以沿用基础题型的经典思路，即动态规划。

动态规划的灵魂在于将问题分解成一系列子问题，然后逐个解决这些子问题，并将子问题的解作为父问题的解的一部分。

对于“剪绳子 II”，我们可以将绳子的长度作为子问题的划分标准，并将问题分解成多个子问题：

子问题 1： 如何将长度为 n 的绳子剪成两段，使得两段长度的乘积最大？

子问题 2： 如何将长度为 n 的绳子剪成三段，使得三段长度的乘积最大？

……

子问题 k： 如何将长度为 n 的绳子剪成 k 段，使得 k 段长度的乘积最大？

一旦我们解决了所有的子问题，就可以将子问题的解组合起来，得到原问题的解。

三、算法优化：解题关键

在解决子问题时，我们可以采用记忆化搜索算法来优化求解过程。

记忆化搜索算法的基本思想是，将已经解决过的子问题的解存储起来，以便在下次遇到相同子问题时直接取用存储的解，从而避免重复计算。

在“剪绳子 II”中，我们可以将子问题的输入和输出作为键值对存储在一个哈希表中。

当我们再次遇到相同的子问题时，可以直接从哈希表中取回存储的解，而无需重新计算。

四、渐入佳境：代码实现

掌握了算法思路和优化技巧后，我们就可以将之转化为代码。

以下是 Python 代码的实现：

def cut_rope_ii(length):
    memo = {}

    def max_product(length):
        if length in memo:
            return memo[length]

        if length < 2:
            return 1

        max_prod = 0
        for i in range(1, length):
            prod = i * max_product(length - i)
            max_prod = max(max_prod, prod)

        memo[length] = max_prod
        return max_prod

    return max_product(length)