553 最优除法，用数学和数据结构破除运算谜题！

2023-10-18 05:51:33

前言

在计算机编程的世界里，数字运算无处不在。在著名的编程挑战网站LeetCode上，就有这样一道题目：给定一组正整数，相邻的整数之间将会进行浮点除法操作。你可以任意添加括号，来改变算数的优先级。你需要找出怎么添加括号，才能得到最大的结果，并且返回相应的字符串格式的表达式。

乍一看，这道题似乎有些抽象和困难，但它背后隐藏的数学和数据结构知识却非常值得我们探索。接下来，我们就一起踏上这趟数学和编程的奇妙之旅，寻找最优除法的奥秘！

数学与编程的交织之美

要解决最优除法问题，首先要了解数学运算的优先级。在计算机中，乘除运算的优先级高于加减运算。因此，在没有括号的情况下，相邻的数字会按照乘除优先级进行运算。

但是，我们可以通过添加括号来改变运算的优先级。例如，对于数字序列1, 2, 3, 4, 5，我们可以通过添加括号来得到不同的运算结果：

(1 + 2) * (3 + 4) * 5 = 45
1 * (2 + 3) * (4 + 5) = 100
1 * 2 * (3 + 4 + 5) = 45

通过添加括号，我们可以让乘除运算优先于加减运算，从而得到更大的结果。

数据结构与算法的巧妙运用

在实际编程中，我们如何找到最优除法表达式呢？这可以通过动态规划算法来实现。动态规划是一种自顶向下、逐层递推的算法设计方法。我们可以将问题分解成子问题，然后逐层解决子问题，最后得到整个问题的最优解。

对于最优除法问题，我们可以将问题分解成以下子问题：

对于给定的数字序列，找到相邻两个数字之间的最优除法表达式。
对于给定的数字序列，找到相邻三个数字之间的最优除法表达式。
...
对于给定的数字序列，找到整个序列的最优除法表达式。

我们可以使用动态规划算法逐层解决这些子问题，最终得到整个问题的最优解。

编程实践与算法应用

为了更直观地理解最优除法算法，我们可以在编程语言中实现它。这里，我们以Python语言为例，编写一个最优除法算法的程序。

def max_product(nums):
    """
    找到给定数字序列的最优除法表达式。

    Args:
        nums: 给定的数字序列。

    Returns:
        最优除法表达式的字符串格式。
    """

    # 创建一个二维数组dp，用于存储子问题的最优解。
    dp = [[0 for _ in range(len(nums))] for _ in range(len(nums))]

    # 初始化dp数组。
    for i in range(len(nums)):
        dp[i][i] = nums[i]

    # 计算dp数组。
    for l in range(2, len(nums) + 1):
        for i in range(len(nums) - l + 1):
            j = i + l - 1
            for k in range(i, j):
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] * dp[k + 1][j], dp[i][k] / dp[k + 1][j])

    # 返回最优除法表达式的字符串格式。
    return format_expression(dp, 0, len(nums) - 1)

def format_expression(dp, i, j):
    """
    将dp数组中的最优除法表达式格式化为字符串。

    Args:
        dp: dp数组。
        i: 最优除法表达式的起始位置。
        j: 最优除法表达式的结束位置。

    Returns:
        最优除法表达式的字符串格式。
    """

    if i == j:
        return str(dp[i][j])
    elif dp[i][j] == dp[i][i]:
        return str(dp[i][j])
    elif dp[i][j] == dp[i][i] / dp[i + 1][j]:
        return "(" + format_expression(dp, i, i) + "/" + format_expression(dp, i + 1, j) + ")"
    else:
        for k in range(i, j):
            if dp[i][j] == dp[i][k] * dp[k + 1][j]:
                return "(" + format_expression(dp, i, k) + "*" + format_expression(dp, k + 1, j) + ")"

# 测试程序。
nums = [1, 2, 3, 4, 5]
print(max_product(nums))