细说「力扣 210」：课程表 II，拓扑排序轻松解决

2024-01-07 20:25:41

课程表 II：拓扑排序的经典应用

在「力扣 210」课程表 II 问题中，我们面临一个需要安排课程学习次序的难题。题目给定两个数组：一个数组 numCourses 表示课程数量，另一个数组 prerequisites 课程之间的依赖关系，即 prerequisites[i] = [ai, bi] 表示学习课程 ai 之前必须先学完课程 bi。我们的任务是找出一种合理的课程安排，使所有课程都能按正确的次序完成。

拓扑排序：化解依赖关系的利器

解决「力扣 210」的关键在于拓扑排序，这是一种用于解决有向无环图（Directed Acyclic Graph，简称 DAG）中节点排序问题的算法。拓扑排序的目的是为 DAG 中的节点建立一个线性序列，使得对于任何一对节点 u 和 v，如果存在有向边 u → v，那么在序列中 u 总是排在 v 之前。

拓扑排序的原理和实现

拓扑排序通常采用两种主要方法：

基于深度的搜索（DFS）： 从一个未访问的节点开始，对图进行DFS。在访问过程中，记录每个节点的「进入时间」和「离开时间」。离开时间早于进入时间的节点可以安全加入拓扑序列。
基于广度的搜索（BDS）： 从所有入度为 0 的节点开始，对图进行 BDS。当访问一个节点时，其所有出边指向的节点入度减 1。当一个节点入度变为 0 时，它可以加入拓扑序列。

解决「力扣 210」的拓扑排序实现

基于「力扣 210」中给定的两个数组，我们使用一种基于深度的搜索方法来实现拓扑排序：

from collections import defaultdict,deque
def topological_sort(numCourses, prerequisites):
    # 初始化邻接表和入度表
    in_degree = [0] * numCourses
    graph = defaultdict(list)
    for pair in prerequisites:
        graph[pair[1]].append(pair[0])
        in_degree[pair[0]] += 1

    # 使用DFS进行拓扑排序
    stack = []
    visited = [False] * numCourses
    def dfs(node):
        visited[node] = True
        for neighbor in graph[node]:
            if not visited[neighbor]:
                dfs(neighbor)
        stack.append(node)

    for i in range(numCourses):
        if not visited[i]:
            dfs(i)
    return stack[::-1]

代码详解

我们首先初始化一个邻接表 graph 来存储课程之间的依赖关系，以及一个入度表 in_degree 来记录每个课程的入度（即其他课程对其的依赖数量）。
然后，我们使用一个基于深度的搜索函数 dfs 来对图进行拓扑排序。该函数通过使用一个栈 stack 来收集已访问的课程，从而生成拓扑序列。
在 dfs 函数中，我们首先将当前课程 node 访问状态设为已访问。然后，我们访问该课程的出边所指向的每个邻接课程 neighbor，并对其执行拓扑排序。
最后，当我们访问完所有课程后，栈 stack 中的课程按拓扑次序排列，可以安全输出。