利用回溯算法生成所有括号对

2023-10-26 16:30:59

好的，我将按照您的要求生成一篇关于 LeetCode22 生成所有括号对的文章。

生成所有可能的括号对是一个经典的算法问题，经常出现在编程面试中。这个问题要求我们生成所有长度为 2n 的字符串，其中 n 个左括号和 n 个右括号按正确顺序排列。

例如，当 n = 3 时，所有可能的括号对有：

()()()
(())()
()(())
(()())
((()))

我们可以使用回溯算法来解决这个问题。回溯算法是一种用于解决问题的通用技术，它通过在解决方案空间中生成并探索所有可能的解决方案来工作。在回溯算法中，我们从一个初始解决方案开始，然后系统地生成所有可能的扩展，直到找到一个满足所有约束的解决方案。

在生成所有可能的括号对时，我们可以使用回溯算法如下：

从一个空字符串开始。
在字符串的开头或结尾添加一个左括号或右括号。
如果字符串是有效的，则将其添加到解决方案列表中。
重复步骤 2 和 3，直到所有可能的解决方案都已生成。

def generate_parentheses(n):
  """
  生成所有可能的括号对。

  参数：
    n: 要生成的括号对的数量。

  返回：
    所有可能的括号对的列表。
  """

  result = []

  def backtrack(s, left, right):
    """
    生成所有可能的括号对的回溯函数。

    参数：
      s: 当前的字符串。
      left: 剩余的左括号数量。
      right: 剩余的右括号数量。
    """

    if left == 0 and right == 0:
      # 如果没有剩余的括号，则将字符串添加到解决方案列表中。
      result.append(s)
      return

    if left > 0:
      # 如果还有剩余的左括号，则在字符串的开头添加一个左括号。
      backtrack(s + '(', left - 1, right)

    if right > 0 and left < right:
      # 如果还有剩余的右括号，并且右括号的数量大于左括号的数量，则在字符串的结尾添加一个右括号。
      backtrack(s + ')', left, right - 1)

  backtrack('', n, n)

  return result

这种方法的时间复杂度是 O(4^n)，因为在每次调用 backtrack 函数时，我们都会生成两个新的子问题。空间复杂度是 O(n)，因为我们最多需要存储 n 个左括号和 n 个右括号。

除了回溯算法之外，还有其他几种方法可以生成所有可能的括号对。其中一种方法是使用动态规划。动态规划是一种用于解决问题的技术，它通过将问题分解成更小的子问题并存储子问题的解决方案来工作。

使用动态规划来生成所有可能的括号对，我们可以如下：

定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示所有长度为 i 的字符串中，左括号的数量为 j 且右括号的数量为 i - j 的所有可能的字符串。
初始化 dp 数组，使得 dp[0][0] = 1，其他元素都为 0。
对于 i 从 1 到 2n，对于 j 从 0 到 i，计算 dp[i][j] 的值。
如果 j > 0，则 dp[i][j] 等于 dp[i - 1][j - 1]。
如果 j < i，则 dp[i][j] 等于 dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j + 1]。
返回 dp[2n][n] 的值。

def generate_parentheses(n):
  """
  生成所有可能的括号对。

  参数：
    n: 要生成的括号对的数量。

  返回：
    所有可能的括号对的列表。
  """

  dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
  dp[0][0] = 1

  for i in range(1, 2 * n + 1):
    for j in range(i + 1):
      if j > 0:
        dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1]
      if j < i:
        dp[i][j] += dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j + 1]

  result = []

  def backtrack(s, left, right):
    """
    生成所有可能的括号对的回溯函数。

    参数：
      s: 当前的字符串。
      left: 剩余的左括号数量。
      right: 剩余的右括号数量。
    """

    if left == 0 and right == 0:
      result.append(s)
      return

    if left > 0:
      backtrack(s + '(', left - 1, right)

    if right > 0 and left < right:
      backtrack(s + ')', left, right - 1)

  backtrack('', n, n)

  return result