当一个人亲手实现leetcode494时

2023-11-19 00:50:50

题目定义

题目: 给定一个整数数组 nums 和一个整数 target，求出所有可能的子集，使得子集中的元素之和等于 target。

示例:

nums = [1, 2, 3]
target = 4

输出:
[
  [1, 3],
  [2, 2],
  [3]
]

算法实现

动态规划简介

动态规划是一种自底向上的问题解决方法，它将问题分解成若干个子问题，然后逐步求解这些子问题，最终得到问题的最优解。动态规划的思想可以概括为：

将问题分解成若干个子问题。
定义子问题的状态和状态转移方程。
使用动态规划表格存储子问题的最优解。
自底向上求解子问题，最终得到问题的最优解。

状态定义

对于LeetCode494题，我们可以定义状态 dp[i][j] 表示前 i 个元素的子集中，是否存在子集的元素之和等于 j。

状态转移方程

状态转移方程可以表示为：

dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j-nums[i]]

其中：

dp[i-1][j] 表示前 i-1 个元素的子集中，是否存在子集的元素之和等于 j。
dp[i-1][j-nums[i]] 表示前 i-1 个元素的子集中，是否存在子集的元素之和等于 j-nums[i]。
nums[i] 表示数组 nums 的第 i 个元素。

边界条件

边界条件为：

dp[0][0] = true，因为空集的元素之和为 0。
dp[i][0] = true，对于任何 i>0，因为我们可以选择不包含任何元素。

优化策略

为了优化算法的时间复杂度，我们可以使用前缀和来计算子集的元素之和。前缀和数组 preSum[i] 表示前 i 个元素的元素之和。这样，我们可以将状态转移方程优化为：

dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j-preSum[i]]

其中：

preSum[i] 表示前 i 个元素的元素之和。

代码实现

def findTargetSumWays(nums, target):
  """
  :type nums: List[int]
  :type target: int
  :rtype: int
  """
  # 计算前缀和数组
  preSum = [0] * len(nums)
  preSum[0] = nums[0]
  for i in range(1, len(nums)):
    preSum[i] = preSum[i-1] + nums[i]

  # 初始化动态规划表格
  dp = [[False] * (target+1) for _ in range(len(nums)+1)]

  # 边界条件
  dp[0][0] = True
  for i in range(1, len(nums)+1):
    dp[i][0] = True

  # 状态转移
  for i in range(1, len(nums)+1):
    for j in range(1, target+1):
      dp[i][j] = dp[i-1][j]
      if j >= nums[i-1]:
        dp[i][j] |= dp[i-1][j-nums[i-1]]

  # 返回最终结果
  return dp[len(nums)][target]