C++实现高斯消元算法，巧解线性方程组难题！

闲谈

2023-09-15 17:23:36

高斯消元算法：揭开线性方程组的神秘面纱

在数学领域，线性方程组无处不在，从物理建模到数据分析，它们在各个学科中都扮演着至关重要的角色。然而，求解线性方程组有时可能是一项艰巨的任务，尤其是当方程组规模较大时。

这就是高斯消元算法大显身手的地方。这种算法提供了一种系统的方法来求解线性方程组，它通过一系列精心设计的行变换将系数矩阵转换为阶梯形矩阵，从而简化了解的求解过程。

矩阵初等行变换：算法的基础

高斯消元算法的核心是矩阵初等行变换。这些变换允许我们对矩阵进行特定操作，而不改变其解空间。有三种基本类型的初等行变换：

加法变换： 将一行与另一行相加或相减。
数乘变换： 将一行乘以一个非零常数。
交换变换： 交换任意两行的位置。

算法步骤：化简为阶梯形

高斯消元算法将系数矩阵逐步转换为阶梯形矩阵，遵循以下步骤：

选主元： 在当前列中选择一个非零元素作为主元。
消元： 使用加法变换，将主元所在列的其他元素化为零。
换行： 如果当前列没有非零元素，则与下方有非零元素的行交换。
递归： 对剩余的行重复步骤 1-3，直到矩阵转换为阶梯形。

阶梯形矩阵：直观求解

阶梯形矩阵具有一个非常有用的性质：它可以直观地求解线性方程组。在阶梯形矩阵中，每个非零行对应一个方程，非零元素对应于方程中的系数。通过从下往上回代，我们可以轻松求出每个变量的值。

C++实现：亲身体验算法的魅力

为了让您更深入地了解高斯消元算法，我们提供了一个 C++ 实现：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 高斯消元函数
vector<double> gauss(vector<vector<double>> &A, vector<double> &b) {
  int n = A.size();

  // 转换为增广矩阵
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    A[i].push_back(b[i]);
  }

  // 高斯消元
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    // 选主元
    int max_row = i;
    for (int j = i + 1; j < n; j++) {
      if (abs(A[j][i]) > abs(A[max_row][i])) {
        max_row = j;
      }
    }

    // 交换行
    if (max_row != i) {
      swap(A[i], A[max_row]);
    }

    // 消元
    for (int j = i + 1; j < n; j++) {
      double factor = A[j][i] / A[i][i];
      for (int k = 0; k < n + 1; k++) {
        A[j][k] -= factor * A[i][k];
      }
    }
  }

  // 回代求解
  vector<double> x(n);
  for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
    double sum = 0;
    for (int j = i + 1; j < n; j++) {
      sum += A[i][j] * x[j];
    }
    x[i] = (A[i][n] - sum) / A[i][i];
  }

  return x;
}

int main() {
  // 系数矩阵
  vector<vector<double>> A = {
      {1, 2, 3},
      {4, 5, 6},
      {7, 8, 9},
  };

  // 常数向量
  vector<double> b = {10, 11, 12};

  // 求解
  vector<double> x = gauss(A, b);

  // 输出结果
  for (int i = 0; i < x.size(); i++) {
    cout << "x" << i + 1 << " = " << x[i] << endl;
  }

  return 0;
}