「每日一题」找到奇数长度子数组的和

1. 问题

• 给定一个正整数数组arr，计算所有可能的奇数长度子数组的和。
• 子数组定义为原数组中的一个连续子序列。

2. 解答
我们有以下两种方法来解决这个问题：

2.1 动态规划法
动态规划法采用自底向上的方法，从小的子数组开始，逐步计算更大的子数组的和。

def odd_subarray_sum_dp(arr):
    """
    使用动态规划法计算奇数长度子数组的和。

    参数:
    arr: 输入的正整数数组。

    返回值:
    奇数长度子数组的和。
    """

    # 初始化动态规划表
    dp = [[0 for _ in range(len(arr))] for _ in range(len(arr))]

    # 计算长度为1的子数组的和
    for i in range(len(arr)):
        dp[i][i] = arr[i]

    # 计算长度大于1的子数组的和
    for length in range(3, len(arr) + 1, 2):
        for i in range(len(arr) - length + 1):
            j = i + length - 1
            dp[i][j] = dp[i][j-2] + arr[j]

    # 返回所有奇数长度子数组的和
    total_sum = 0
    for length in range(1, len(arr) + 1, 2):
        for i in range(len(arr) - length + 1):
            j = i + length - 1
            total_sum += dp[i][j]

    return total_sum

2.2 前缀和法
前缀和法是一种更简单的方法，它利用前缀和数组来计算子数组的和。

def odd_subarray_sum_prefix(arr):
    """
    使用前缀和法计算奇数长度子数组的和。

    参数:
    arr: 输入的正整数数组。

    返回值:
    奇数长度子数组的和。
    """

    # 计算前缀和数组
    prefix_sum = [0] * len(arr)
    prefix_sum[0] = arr[0]
    for i in range(1, len(arr)):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i-1] + arr[i]

    # 计算奇数长度子数组的和
    total_sum = 0
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i, len(arr), 2):
            subarray_sum = prefix_sum[j]
            if i > 0:
                subarray_sum -= prefix_sum[i-1]
            total_sum += subarray_sum

    return total_sum

3. 性能比较
动态规划法和前缀和法在时间复杂度上都是O(n^2)，其中n是数组arr的长度。但在空间复杂度上，动态规划法需要额外的空间来存储动态规划表，而前缀和法只需要额外的空间来存储前缀和数组，因此前缀和法在空间复杂度上更优。

4. 总结
本文讨论了如何计算所有可能的奇数长度子数组的和。我们介绍了两种方法：动态规划法和前缀和法。这些方法都可以在O(n^2)的时间复杂度内解决这个问题，但前缀和法在空间复杂度上更优。读者可以根据自己的需要选择合适的方法来解决这个问题。