巧妙地移除石头：LeetCode 947

2023-11-09 20:00:22

引言

我们正在探索一个有着悠久历史的领域，那就是动态规划。动态规划作为一门强大的工具，能够将复杂问题分解为更易管理的子问题，使我们能够更有效地找到解决方案。今天，我们将使用这种方法来解决一个著名的问题：移除最多的同行或同列石头。

问题陈述

设想一个平面上放置着许多石头，每一块石头都位于一个特定的坐标。我们的目标是移除最多的石头，但有一个条件：剩下的石头不能位于同一行或同一列。简而言之，我们必须找到一种方法来移除一些石头，使剩下的石头既不在同一行也不在同一列。

解决方案

为了解决这个问题，我们将采用动态规划。我们将把这个问题分解成一系列子问题，然后逐一解决。首先，我们定义一个状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1

其中，dp[i][j]表示前i行和前j列中最多能移除的石头数。dp[i-1][j]表示前i-1行和前j列中最多能移除的石头数，而dp[i][j-1]表示前i行和前j-1列中最多能移除的石头数。

我们从一个简单的例子开始。如果我们只有一个石头，那么dp[1][1]等于1，因为我们可以移除这个石头。如果我们有两个石头，位于同一行或同一列，那么dp[2][1]等于1，因为我们最多只能移除其中一个石头。然而，如果这两个石头不在同一行或同一列，那么dp[2][1]等于2，因为我们可以移除这两个石头。

现在，让我们考虑一个更复杂的情况。如果我们有三个石头，位于同一行或同一列，那么dp[3][1]等于1，因为我们最多只能移除其中一个石头。然而，如果这两个石头不在同一行或同一列，那么dp[3][1]等于2，因为我们可以移除这两个石头。如果这三个石头都不在同一行或同一列，那么dp[3][1]等于3，因为我们可以移除这三个石头。

我们继续使用这种方法，逐行逐列地计算dp[i][j]的值。最终，我们将得到dp[n][m]的值，它表示整个平面上最多能移除的石头数。

代码实现

以下是用Python实现的代码：

def remove_stones(stones):
  """
  返回最多能移除的石头数。

  Args:
    stones: 一个列表，包含石头的位置。

  Returns:
    最多能移除的石头数。
  """

  # 初始化dp表。
  dp = [[0 for _ in range(len(stones) + 1)] for _ in range(len(stones) + 1)]

  # 计算dp表。
  for i in range(1, len(stones) + 1):
    for j in range(1, len(stones) + 1):
      # 如果两个石头位于同一行或同一列。
      if stones[i - 1][0] == stones[j - 1][0] or stones[i - 1][1] == stones[j - 1][1]:
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
      # 如果两个石头不在同一行或同一列。
      else:
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1

  # 返回dp表右下角的值。
  return dp[len(stones)][len(stones)]