攀登杨辉三角：探索其数学之美

闲谈

2024-01-04 18:50:15

杨辉三角的起源

杨辉三角，又称帕斯卡三角，是一个数学结构，以其排列成三角形的数字而闻名。它的历史可以追溯到古中国，数学家杨辉在 13 世纪对其进行了。几个世纪以来，它一直被广泛用于数学和科学领域。

杨辉三角的生成

杨辉三角的每一行都是从前一行派生的。第一行始终为 1。从第二行开始，每一行的第一个和最后一个数字始终为 1。三角形中其他数字是其左上方和右上方数字的和。

例如，在第三行中，数字 2 是上方数字 1 和 1 的和。

使用递归函数生成杨辉三角

我们可以使用递归函数来生成杨辉三角。递归函数调用自身来解决问题。在杨辉三角的情况下，我们可以定义一个函数，该函数采用两个参数：要生成的行的索引和结果三角形。

def generate_pascal_triangle(n, triangle):
    # 如果 n 为 0，则返回空三角形
    if n == 0:
        return []

    # 如果 n 为 1，则返回一个包含单个 1 的三角形
    if n == 1:
        return [[1]]

    # 获取前一行的三角形
    previous_row = triangle[n - 1]

    # 创建一个新的行，第一个和最后一个元素为 1
    new_row = [1]

    # 遍历前一行的元素，计算新行的其余元素
    for i in range(len(previous_row) - 1):
        new_row.append(previous_row[i] + previous_row[i + 1])

    # 将新行添加到三角形中
    new_row.append(1)

    # 返回更新后的三角形
    return triangle + [new_row]

使用组合公式生成杨辉三角

组合公式可用于计算杨辉三角中每一行的数字。组合公式表示为 C(n, r)，其中 n 是项目的总数，r 是要选择的项目的数量。

在杨辉三角中，每一行的第 r 个数字等于 C(n - 1, r - 1)。

def generate_pascal_triangle_with_combinatorics(n):
    # 创建一个三角形来存储结果
    triangle = []

    # 遍历行
    for i in range(n):
        # 创建一个新行来存储第 i 行的数字
        row = []

        # 遍历第 i 行的列
        for j in range(i + 1):
            # 使用组合公式计算第 j 个数字
            number = math.comb(i, j)

            # 将数字添加到新行
            row.append(number)

        # 将新行添加到三角形
        triangle.append(row)

    # 返回三角形
    return triangle