三扇门游戏：贝叶斯定理解密概率陷阱

在概率论的浩瀚领域中，三扇门游戏无疑是熠熠生辉的瑰宝。它不仅是一个引人入胜的智力挑战，更蕴含着贝叶斯定理的精髓，让我们得以窥探概率世界中看似矛盾的奥秘。

贝叶斯定理的迷雾

贝叶斯定理是一项强大的工具，它允许我们在已知某些事件后更新对其他事件的概率估计。公式如下：

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

其中：

• P(A|B) 表示在事件 B 发生的情况下，事件 A 发生的概率（后验概率）
• P(B|A) 表示在事件 A 发生的情况下，事件 B 发生的概率（似然度）
• P(A) 表示事件 A 发生的先验概率
• P(B) 表示事件 B 发生的概率

三扇门游戏的谜团

三扇门游戏的情景如下：

• 三扇关闭的门中，有两扇后面是山羊，一扇后面是一辆豪车。
• 主持人会随机打开一扇门，露出后面的山羊。
• 主持人问你，是否要坚持自己最初选择的门的选项，还是选择另一扇未被打开的门。

乍一看，换门和不换门似乎机会均等。然而，仔细分析就会发现，其中蕴藏着微妙的概率陷阱。

后验概率的转折

根据贝叶斯定理，在主持人打开一扇门露出山羊后，我们选择另一扇门的后验概率为：

P(豪车在未选门|山羊在已选门) = (P(山羊在已选门|豪车在未选门) * P(豪车在未选门)) / P(山羊在已选门)

其中：

• P(豪车在未选门) 表示豪车在另一扇门后的先验概率为 1/2
• P(山羊在已选门|豪车在未选门) 表示在豪车在另一扇门后，主持人打开一扇门露出山羊的概率为 1/2
• P(山羊在已选门) 表示主持人打开一扇门露出山羊的概率为 1/3

代入公式并计算可得：

P(豪车在未选门|山羊在已选门) = (1/2 * 1/2) / 1/3 = 1/3

换门的好处

这表明，在主持人打开一扇门露出山羊后，选择另一扇门的后验概率为 1/3。而坚持自己最初选择的门的后验概率仍然是 1/3。因此，换门可以将你赢得豪车的概率从 1/3 提高到 2/3。

期望值的考量

期望值是概率论中另一个重要的概念，它表示一个随机变量的所有可能取值的概率加权平均值。在三扇门游戏中，选择另一扇门的期望值是：

E(选择另一扇门) = (1/3) * 豪车 + (2/3) * 山羊 = 2/3

坚持自己最初选择的门的期望值是：

E(坚持原选择) = (1/3) * 豪车 + (2/3) * 山羊 = 1/3

因此，换门的期望值更高，这进一步证实了换门策略的优势。

结论

三扇门游戏看似简单，但它巧妙地诠释了贝叶斯定理和期望值的原理。通过后验概率的更新，我们可以发现换门的策略更加有利。这启示我们，在决策中，要善于利用新信息更新我们的信念，从而做出更明智的选择。