高枕无忧的动态规划——完全背包和多重背包难题剖析

今天是算法数据结构专题的第 13 篇文章，也是动态规划专题的第二篇。上一讲中，我们学习了动态规划算法中的零一背包问题，了解了所谓的零一背包是指每种物品只有一个，所以它的状态只有 0 和 1 两种，即拿或不拿。而今天，我们要来讨论物品不止一个的情况，物品不止有一个也分两种，一种是物品的种类不止一个，但每种物品只有一个；另一种是物品的种类不止一个，且每种物品不止一个，这种问题被称作多重背包问题。

让我们首先来了解一下完全背包问题。完全背包问题与零一背包问题非常相似，它也需要在背包容量一定的条件下，从给定的物品中挑选若干物品放入背包，使得背包中的物品总价值最大。但与零一背包问题不同的是，完全背包问题中每种物品可以被放入背包多次。这意味着我们可以将一种物品放入背包多次，直到背包装满或物品用完。

为了解决完全背包问题，我们可以使用动态规划算法。动态规划算法是一种自顶向下的解决问题的算法，它将问题分解成若干个子问题，然后逐步解决这些子问题，最终得到问题的整体解。在解决完全背包问题时，我们可以将问题分解成若干个子问题：

* 第一步，我们将背包容量分成若干个区间，每个区间代表背包的容量。
* 第二步，我们将物品价值也分成若干个区间，每个区间代表物品的价值。
* 第三步，我们计算出每个区间内物品的总价值。
* 第四步，我们找出背包容量和物品价值都属于同一个区间的物品，并将这些物品放入背包。
* 第五步，我们重复步骤 1 到步骤 4，直到背包装满或物品用完。

通过这种方法，我们就可以解决完全背包问题。

接下来，我们再来了解一下多重背包问题。多重背包问题与完全背包问题非常相似，它也需要在背包容量一定的条件下，从给定的物品中挑选若干物品放入背包，使得背包中的物品总价值最大。但与完全背包问题不同的是，多重背包问题中每种物品可以被放入背包多次，但每种物品都有一个数量限制。这意味着我们可以将一种物品放入背包多次，但不能超过它的数量限制。

为了解决多重背包问题，我们可以使用动态规划算法。动态规划算法是一种自顶向下的解决问题的算法，它将问题分解成若干个子问题，然后逐步解决这些子问题，最终得到问题的整体解。在解决多重背包问题时，我们可以将问题分解成若干个子问题：

* 第一步，我们将背包容量分成若干个区间，每个区间代表背包的容量。
* 第二步，我们将物品价值也分成若干个区间，每个区间代表物品的价值。
* 第三步，我们将物品的数量也分成若干个区间，每个区间代表物品的数量。
* 第四步，我们计算出每个区间内物品的总价值。
* 第五步，我们找出背包容量、物品价值和物品数量都属于同一个区间的物品，并将这些物品放入背包。
* 第六步，我们重复步骤 1 到步骤 5，直到背包装满或物品用完。

通过这种方法，我们就可以解决多重背包问题。

完全背包问题和多重背包问题都是动态规划算法中的经典问题，它们在实际生活中有着广泛的应用，如背包问题、旅行商问题、最短路径问题等。掌握这些算法的解题思路和技巧，可以帮助我们更好地解决实际问题，提高编程能力。