零基础入门动态规划：剖析常用算法，揭开难题密码

见解分享

2023-08-21 17:36:50

动态规划：破解复杂问题的秘密武器

在算法设计和分析领域，动态规划是一个不可忽视的重要概念。它提供了一种强大的方法来解决最优化问题，在计算机科学中有着广泛的应用。

什么是动态规划？

动态规划是一种将一个大问题分解成更小、更容易解决的子问题，然后逐步求解并组合这些子问题的最优解，从而解决复杂问题的技术。这种方法具有以下特点：

最优子结构： 最优解可以分解成更小子问题的最优解。
重叠子问题： 相同子问题可能被重复求解多次。
记忆化： 通过存储子问题的最优解来避免重复求解。

动态规划的步骤

解决动态规划问题通常遵循以下步骤：

将大问题分解成更小的子问题。
求解这些子问题。
将子问题的最优解组合成整个问题的最优解。

斐波那契数列：一个经典示例

斐波那契数列是一个无限数列，每个数都是前面两个数的和。使用动态规划，我们可以将递归求解斐波那契数列的时间复杂度从指数级降低到线性级别。具体步骤如下：

子问题分解：将斐波那契数列分解为计算 F(n-1) 和 F(n-2)。
子问题求解：通过记忆化存储子问题的最优解。
最优解组合：将子问题的最优解组合成 F(n) 的最优解。

代码示例（Python）：

def fibonacci(n):
    fib = [0, 1]
    
    for i in range(2, n+1):
        fib.append(fib[i-1] + fib[i-2])
        
    return fib[n]

0-1背包问题：一个应用

0-1背包问题是一个经典的动态规划问题，它涉及在有限容量的背包中选择价值最大的一组物品。我们可以使用动态规划解决此问题，方法如下：

子问题分解：将问题分解为选择第 i 件物品时背包容量为 j 的最优解。
子问题求解：通过记忆化存储子问题的最优解。
最优解组合：将子问题的最优解组合成整个背包问题的最优解。

代码示例（Java）：

import java.util.Arrays;

public class Knapsack {

    public static int knapsack(int[] weights, int[] values, int capacity) {
        int[][] dp = new int[weights.length + 1][capacity + 1];

        for (int i = 1; i <= weights.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= capacity; j++) {
                if (weights[i-1] <= j) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weights[i-1]] + values[i-1]);
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
            }
        }

        return dp[weights.length][capacity];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] weights = {2, 3, 5, 7};
        int[] values = {1, 5, 2, 4};
        int capacity = 10;

        System.out.println(knapsack(weights, values, capacity)); // 输出：10
    }
}