以 leetcode 593 题为例，解密有效正方形的证明思路

揭秘正方形之谜：深入浅出探秘 LeetCode 593 题

检查对角线：

在寻找一个正方形时，对角线是至关重要的线索。首先，我们需要确保两条对角线相等。这并不难，只需计算两条对角线之间的距离，如果它们相同，我们就可以继续下一步。

接下来，我们还需要确保这两条对角线互相垂直。这稍微复杂一些，但我们仍然可以使用基本的几何原理。如果两条对角线垂直，那么形成的四个三角形将是直角三角形。直角三角形的两个短边长度之和等于较长边（对角线）的长度。我们可以分别检查每个三角形，如果它们都满足这个条件，那么对角线就是垂直的。

验证边长：

下一步，我们必须检查这四个边的长度是否相等。如果有一个边与其他三个边不同，那么就不可能形成一个正方形。幸运的是，我们可以轻松地计算出每条边的长度，如果它们都相等，那么我们就可以继续下一步。

测量对角线：

最后，我们需要检查对角线长度是否满足一个特殊的条件。在正方形中，对角线长度等于边长乘以根号 2。如果对角线长度不满足这个条件，那么我们就不可能有一个正方形。

代码示例：

public boolean isValidSquare(int[] p1, int[] p2, int[] p3, int[] p4) {
    // 检查对角线相等且互相垂直
    double d1 = Math.sqrt((p2[0] - p1[0]) * (p2[0] - p1[0]) + (p2[1] - p1[1]) * (p2[1] - p1[1]));
    double d2 = Math.sqrt((p3[0] - p4[0]) * (p3[0] - p4[0]) + (p3[1] - p4[1]) * (p3[1] - p4[1]));
    if (d1 != d2) {
        return false;
    }
    if (p2[0] - p1[0] == 0 || p3[0] - p4[0] == 0) {
        return false;
    }
    if ((p2[1] - p1[1]) / (p2[0] - p1[0]) == (p4[1] - p3[1]) / (p4[0] - p3[0])) {
        return false;
    }

    // 检查边长
    double side1 = Math.sqrt((p2[0] - p1[0]) * (p2[0] - p1[0]) + (p2[1] - p1[1]) * (p2[1] - p1[1]));
    double side2 = Math.sqrt((p3[0] - p2[0]) * (p3[0] - p2[0]) + (p3[1] - p2[1]) * (p3[1] - p2[1]));
    double side3 = Math.sqrt((p4[0] - p3[0]) * (p4[0] - p3[0]) + (p4[1] - p3[1]) * (p4[1] - p3[1]));
    double side4 = Math.sqrt((p1[0] - p4[0]) * (p1[0] - p4[0]) + (p1[1] - p4[1]) * (p1[1] - p4[1]));
    if (side1 != side2 || side2 != side3 || side3 != side4) {
        return false;
    }

    // 检查对角线长度
    if (d1 != side1 * Math.sqrt(2)) {
        return false;
    }

    return true;
}

常见问题解答：

1. 什么是正方形的特殊之处？

   • 正方形是四边形，其四个边相等，四个角都是直角。

2. 如何判断四个点是否能形成正方形？

   • 检查对角线是否相等且互相垂直，然后检查边长是否相等，最后检查对角线长度是否满足一个特殊条件。

3. 为什么对角线在判断正方形时如此重要？

   • 对角线将正方形分成四个直角三角形，这些三角形的性质可以帮助我们确定正方形的形状。

4. 如果一个四边形具有三个直角，它一定是正方形吗？

   • 不一定，四边形可能有三个直角，但如果它的四边不等，就不是正方形。

5. 除了上述方法之外，还有其他方法可以判断四个点是否能形成正方形吗？

   • 有，我们可以计算每条边的坡度，如果所有四条边的坡度相等，那么这四个点可以形成一个正方形。