考研利器：高等代数真题分类汇总，助你轻松攻克数域堡垒

2023-12-16 05:40:28

数域：理解其定义和基本性质

在数学王国里，数域是一个至关重要的概念，它代表着一组具有独特运算规则的数字集合。深入理解数域的定义和基本性质，对于解决高等代数问题至关重要。

数域的定义

数域是一个集合，其元素之间可以进行加法和乘法运算，并满足以下公理：

数域的基本性质

数域的基本性质了其运算的规则和关系：

不可约多项式的特征和判定方法

在数论中，不可约多项式是一个不能被分解为次数更小多项式的乘积的多项式。艾森斯坦准则提供了一种判定不可约多项式的常用方法：

艾森斯坦准则： 设 f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0 ∈ Z[x]，其中 a_n ≠ 0，且存在素数 p，使得 p | a_i 且 p^2 ∤ a_0。则 f(x) 在 Z[x] 中不可约。

反证法证明多项式在有理数域上的不可约性

反证法是一种常见的证明技巧，它通过假设命题的否定来导出矛盾，从而证明命题的成立。在数论中，反证法经常被用来证明多项式在有理数域上的不可约性：

证明步骤：

假设多项式 f(x) 在有理数域 Q[x] 中可约，即存在次数小于 f(x) 次数的非零多项式 g(x) 和 h(x)，使得 f(x) = g(x) ⋅ h(x)。
令 g(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_0 ∈ Q[x]，其中 b_m ≠ 0。
根据多项式的乘法，有 f(x) = g(x) ⋅ h(x) = (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_0) ⋅ h(x) = b_mx^{m+n} + (b_{m-1}x^{m+n-1} + b_mx^{m+n-2} + ... + b_0x^n) + ... + b_0x^m。
比较两边多项式的系数，可得 b_mx^{m+n} = a_nx^n。
由于 b_m ≠ 0 和 a_n ≠ 0，所以 m + n = n，即 m = 0。
这意味着 g(x) 是常数多项式，即 g(x) = b_0 ∈ Q。
将 g(x) = b_0 代入 f(x) = g(x) ⋅ h(x)，可得 f(x) = b_0 ⋅ h(x)。
由于 f(x) 是次数为 n 的多项式，而 b_0 是常数，所以 h(x) 的次数必须为 n。
这与假设 f(x) 在 Q[x] 中可约相矛盾，即存在次数小于 n 的非零多项式 g(x) 和 h(x)，使得 f(x) = g(x) ⋅ h(x)。
因此，我们的假设是错误的，即 f(x) 在 Q[x] 中不可约。

结语

深入理解数域的概念及其基本性质，对于解决高等代数问题至关重要。艾森斯坦准则和反证法提供了有力的工具，可以用来判定多项式的不可约性。掌握这些技术，可以大大提高我们在数论和代数领域的能力。

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