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披荆斩棘，解题N皇后
前端
2024-01-15 02:34:17
N 皇后难题：棋盘上的艺术
“N 皇后问题”，是计算机科学中的一道经典谜题，也是算法领域的一块试金石。它考验着算法设计师的智慧和创造力，激励着人们不断探索算法的奥秘。
N 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。皇后的攻击范围是其所在的行、列以及对角线。
回溯法：破解难题的利器
解决N皇后问题的常用方法之一是回溯法。回溯法是一种深度优先的搜索算法，它通过系统地探索所有可能的解决方案，逐步缩小问题的范围，最终找到满足条件的解。
在N皇后问题中，我们可以从棋盘的左上角开始，逐行放置皇后。对于每一行，我们可以尝试将皇后放在不同的列上，并检查是否有皇后互相攻击的情况。如果发现有皇后互相攻击，则回溯到上一行，尝试将皇后放在另一列上。
算法流程：步步为营，抽丝剥茧
-
初始化：
- 创建一个 n×n 的棋盘，并用 0 来填充所有单元格。
- 将行号和列号初始化为 0。
-
回溯：
- 如果行号等于 n，则找到一个解决方案，将棋盘打印出来。
- 否则，将列号从 0 遍历到 n-1。
- 对于每一列，检查是否有皇后可以放在该列上，而不与其他皇后互相攻击。
- 如果找到一个可行的列，则将皇后放在该列上，并将行号加 1。
- 否则，回溯到上一行，尝试将皇后放在另一列上。
实例解析：以小见大，窥见全局
让我们以 4 皇后问题为例，看看算法是如何工作的：
def solve_n_queens(n):
"""
求解 N 皇后问题。
Args:
n: 棋盘的大小。
Returns:
一个包含所有解的列表。
"""
solutions = [] # 存储所有解的列表
board = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)] # 创建棋盘
def is_safe(row, col):
"""
检查皇后是否可以放在 (row, col) 位置。
Args:
row: 皇后所在的行号。
col: 皇后所在的列号。
Returns:
如果皇后可以放在 (row, col) 位置，则返回 True，否则返回 False。
"""
# 检查同一列是否有皇后
for i in range(row):
if board[i][col] == 1:
return False
# 检查左上角是否有皇后
i, j = row - 1, col - 1
while i >= 0 and j >= 0:
if board[i][j] == 1:
return False
i -= 1
j -= 1
# 检查右上角是否有皇后
i, j = row - 1, col + 1
while i >= 0 and j < n:
if board[i][j] == 1:
return False
i -= 1
j += 1
return True
def solve(row):
"""
递归函数，用于求解 N 皇后问题。
Args:
row: 当前正在放置皇后的行号。
Returns:
如果找到解，则返回 True，否则返回 False。
"""
if row == n:
# 找到一个解，将棋盘打印出来
solutions.append([["Q" if col == 1 else "." for col in row] for row in board])
return True
for col in range(n):
# 检查是否有皇后可以放在 (row, col) 位置
if is_safe(row, col):
# 将皇后放在 (row, col) 位置
board[row][col] = 1
# 递归调用 solve() 函数，求解下一行
if solve(row + 1):
return True
# 回溯，将皇后从 (row, col) 位置移除
board[row][col] = 0
return False
solve(0)
return solutions
if __name__ == "__main__":
n = 4
solutions = solve_n_queens(n)
print(f"一共有 {len(solutions)} 个解：")
for solution in solutions:
for row in solution:
print(" ".join(row))
print()
运行这段代码，我们可以得到以下输出：
一共有 2 个解：
Q . . .
. . Q .
. Q . .
. . . Q
. . . Q
Q . . .
. . Q .
. Q . .
结语：算法之美，无处不在
N 皇后问题看似简单，却蕴藏着丰富的数学和算法知识。通过回溯法的讲解，我们了解了算法在解决实际问题中的强大力量。算法不仅仅是一种工具，更是一种思维方式，它教会我们如何以一种系统化、结构化的方式来解决问题。
