再笨的人都能学会的动态规划（一）

动态规划，顾名思义，就是将一个大问题分解成一系列小问题，逐个求解，并将这些小问题的解作为大问题的子问题，最终得到大问题的解。 动态规划的核心思想是：

• 1. 最优子结构 ：大问题的最优解可以由其子问题的最优解组合而成。
• 2. 无后效性 ：子问题的最优解不受其后续决策的影响。

动态规划的适用场景：

• 1. 问题可以分解成一系列相互关联的子问题。
• 2. 子问题的最优解可以由其子问题的最优解组合而成。
• 3. 子问题的最优解不受其后续决策的影响。

动态规划的基本步骤：

• 1. 将大问题分解成一系列相互关联的子问题。
• 2. 为每个子问题定义状态和决策。
• 3. 使用动态规划方程计算每个子问题的最优解。
• 4. 将子问题的最优解组合成大问题的最优解。

下面，我们以剑指 Offer II 103. 最少的硬币数目为例，来讲解动态规划的具体应用：

题目

给定一组硬币的面值 coins 和一个总金额 amount，求出组成该总金额的最小硬币数目。如果无法组成该总金额，则返回 -1。

示例一：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例二：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
解释：无法组成总金额为 3 的硬币组合

错误示范：

有的同学可能第一直觉就是，用贪婪算法来解决这个问题。即每次选择面值最大的硬币，直到凑够总金额。但是，这种方法并不总是能得到最优解。

正确的解法：

我们可以使用动态规划来解决这个问题。我们定义状态 dp[i] 为凑够金额 i 所需的最小硬币数目。

状态转移方程：

dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

其中，coin 为硬币的面值。

初始化：

dp[0] = 0

计算过程：

for i = 1 to amount:
    for coin in coins:
        if i - coin >= 0:
            dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

最终结果：

dp[amount]

时间复杂度：

O(amount * coins)

空间复杂度：

O(amount)

代码实现：

def coinChange(coins, amount):
    dp = [float('inf')] * (amount + 1)
    dp[0] = 0
    for i in range(1, amount + 1):
        for coin in coins:
            if i - coin >= 0:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)
    return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1

总结：

动态规划是一种强大的算法，可以用来解决许多复杂的问题。其基本思想是将大问题分解成一系列相互关联的子问题，逐个求解，并将这些子问题的解作为大问题的子问题，最终得到大问题的解。动态规划的适用场景非常广泛，只要满足最优子结构和无后效性的条件，就可以使用动态规划来解决。