秒懂高效动态规划题：“雨水收集”的秘诀

前端

2023-05-19 20:02:10

动态规划揭秘：二维接雨水算法

引言

动态规划是一种强大的算法技术，它以“以终为始”的思想为基础，将问题分解成更小的子问题，逐步求解，最终解决整个问题。在这个博客中，我们将通过一个典型的“二维接雨水”算法来深入剖析动态规划的精髓。

问题陈述

在一个二维网格中，每个单元格的高度代表它可以接住的雨水量。雨水只能从上向下流动，不会流到比自己高的单元格中。我们的目标是计算出这个二维网格中可以接住的最大雨水量。

动态规划求解

以终为始

动态规划的核心思想是“以终为始”。我们从目标（最大雨水量）出发，逐步分解问题。

分解子问题

我们把问题分解成两个子问题：

从左到右计算每一行可以接住的最大雨水量。
从上到下计算每一列可以接住的最大雨水量。

递推关系

对于每一个单元格，它的最大雨水量取决于相邻单元格的高度。因此，我们可以建立递推关系：

dp[i][j] = max(0, min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) - height[i][j])

其中：

dp[i][j] 表示第 i 行第 j 列单元格可以接住的最大雨水量。
height[i][j] 表示第 i 行第 j 列单元格的高度。

具体步骤

初始化二维数组 dp，每个单元格的值为 0。
从左到右遍历每一行，根据递推关系更新 dp。
从上到下遍历每一列，根据递推关系更新 dp。
最后，dp 中的每个单元格的值就是该单元格可以接住的最大雨水量。

代码示例

def max_rainwater(grid):
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]

    # 从左到右计算每一行
    for i in range(m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = max(0, dp[i][j-1] - grid[i][j])

    # 从上到下计算每一列
    for j in range(n):
        for i in range(1, m):
            dp[i][j] = max(0, dp[i-1][j] - grid[i][j])

    # 返回最大雨水量
    return max([max(row) for row in dp])