化繁为简：线性筛法寻找素数

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2023-11-21 18:21:35

揭秘线性筛：寻找质数的神奇算法

质数在数学王国中扮演着举足轻重的角色，它们既是数论的基础，也是许多数学难题的密钥。那么，如何快速、高效地找到质数呢？线性筛法就是我们手中的利器，它能够以惊人的速度将质数从众多的数字中筛选出来。

什么是质数？

质数，顾名思义，就是只被 1 和它本身整除的正整数。例如，2、3、5、7 都是质数，而 4、6、8 则是合数。寻找质数是许多数学应用的基础，例如密码学、素数分解和计算欧拉函数。

线性筛法的原理

线性筛法是一种经典且高效的算法，用于寻找一定范围内的所有质数。它的原理十分巧妙，就像渔夫用筛子筛选鱼一样，把合数逐一筛除，只留下质数。

该算法从 2 开始，依次考察每个数字。如果一个数字没有被之前的任何质数整除，那么它就是一个质数。如果它可以被之前找到的质数整除，那么它就是一个合数，会被标记为非质数。

举个例子，考虑范围为 10 的线性筛法：

从 2 开始，2 是质数，将其标记为质数。
检查 3，它不被 2 整除，因此也是质数，将其标记为质数。
考察 4，它被 2 整除，因此是合数，将其标记为非质数。
继续考察 5，它不被 2 和 3 整除，因此是质数，将其标记为质数。
考察 6，它被 2 整除，因此是合数，将其标记为非质数。
以此类推，最终我们可以得到 10 以内的所有质数：[2, 3, 5, 7]。

线性筛法的代码实现

下面是用 Python 语言实现的线性筛法代码：

def sieve_of_eratosthenes(n):
    """
    使用线性筛法寻找质数

    参数：
    n：要检查的数字的范围

    返回值：
    一个包含所有质数的列表
    """

    # 创建一个布尔列表，长度为 n+1，其中每个元素最初都设置为 True
    primes = [True] * (n+1)

    # 将 0 和 1 标记为合数
    primes[0] = primes[1] = False

    # 从 2 开始，依次检查每个数字是否可以被之前找到的质数整除
    for i in range(2, n+1):
        # 如果 i 是质数，则将所有 i 的倍数标记为合数
        if primes[i]:
            for j in range(i*i, n+1, i):
                primes[j] = False

    # 将所有标记为 True 的数字收集到质数列表中
    prime_list = [i for i, is_prime in enumerate(primes) if is_prime]

    return prime_list


if __name__ == "__main__":
    # 找到 100 以内的所有质数
    prime_list = sieve_of_eratosthenes(100)

    # 打印质数列表
    print(prime_list)