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机器学习入门指南：剖析高斯判别分析的奥秘
人工智能
2023-10-15 18:05:24
高斯判别分析的原理
高斯判别分析是一种基于统计学原理的分类算法，它假设不同类别的数据服从不同的高斯分布，即多元正态分布。高斯分布是一种常见的概率分布，其概率密度函数为：
f(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n |\Sigma|}} \exp(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu))
其中，x是n维向量，\mu是均值向量，\Sigma是协方差矩阵。
在高斯判别分析中，我们假设不同类别的数据服从不同的高斯分布，即：
x_i \sim N(\mu_i, \Sigma_i), \quad i = 1, 2, \ldots, K
其中，x_i是第i类数据,N(\mu_i, \Sigma_i)是i类数据的均值向量为\mu_i,协方差矩阵为\Sigma_i的高斯分布。
给定一个新的数据点x,我们要预测它属于哪一类。我们可以计算x在不同类别中的后验概率，然后将x分配给后验概率最大的类别。x在第i类中的后验概率为：
P(i|x) = \frac{P(x|i)P(i)}{P(x)}
其中，P(x|i)是x在第i类中的先验概率，P(i)是第i类的先验概率，P(x)是x的先验概率。
在高斯判别分析中，我们假设不同类别的数据服从不同的高斯分布，因此我们可以计算x在不同类别中的先验概率为：
P(x|i) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n |\Sigma_i|}} \exp(-\frac{1}{2}(x-\mu_i)^T\Sigma_i^{-1}(x-\mu_i))
先验概率P(i)可以通过训练集中的数据估计得到。
根据贝叶斯公式，我们可以计算x在不同类别中的后验概率为：
P(i|x) = \frac{P(x|i)P(i)}{P(x)}
其中，P(x)是x的先验概率。在高斯判别分析中，我们假设所有类别的先验概率相等，因此P(x)可以简化为：
P(x) = \sum_{i=1}^K P(x|i)P(i)
根据后验概率，我们可以将x分配给后验概率最大的类别，即：
x \in C_i \quad \text{if and only if} \quad P(i|x) = \max_j P(j|x)
高斯判别分析的算法步骤
- 收集数据并预处理数据。
- 计算每个类别的均值向量和协方差矩阵。
- 计算每个类别的先验概率。
- 计算每个新数据点在不同类别中的后验概率。
- 将每个新数据点分配给后验概率最大的类别。
高斯判别分析的优缺点
优点
- 高斯判别分析是一种简单而强大的分类算法，它具有良好的理论基础和良好的分类效果。
- 高斯判别分析对数据的分布没有严格的要求，它可以适用于各种类型的数据。
- 高斯判别分析的计算量相对较小，它可以快速地对大量的数据进行分类。
缺点
- 高斯判别分析假设不同类别的数据服从不同的高斯分布，如果数据不满足这个假设，那么高斯判别分析的分类效果可能会变差。
- 高斯判别分析对异常数据比较敏感，如果训练集中存在异常数据，那么高斯判别分析的分类效果可能会变差。
- 高斯判别分析是一种线性分类算法，它只能对线性可分的
