前端路漫漫-Day90：回文子串（题号647）

从算法角度出发，回文子串一直是个颇有挑战性的问题，今天，我们将探讨如何利用动态规划来解决LeetCode第647题——“回文子串”。在这个问题中，给定一个字符串，要求计算这个字符串中有多少个回文子串。回文子串是指从字符串中提取出的子串，无论正着读还是倒着读，都是一样的。

我们首先定义dp[i][j]为字符串s[i:j]的回文子串个数，其中s[i:j]表示字符串s从下标i到下标j的子串。显然，当i>j时，s[i:j]是一个空串，它的回文子串个数为0。

其次，考虑如何计算dp[i][j]。如果s[i]=s[j]，那么s[i:j]是一个回文子串，它的回文子串个数为dp[i+1][j-1] + 2。其中dp[i+1][j-1]表示s[i+1:j-1]的回文子串个数，2表示s[i]和s[j]各有一个回文子串。

如果s[i]!=s[j]，那么s[i:j]不是一个回文子串，它的回文子串个数为dp[i+1][j] + dp[i][j-1]。其中dp[i+1][j]表示s[i+1:j]的回文子串个数，dp[i][j-1]表示s[i:j-1]的回文子串个数。

综上，我们可以得到动态规划的转移方程：

dp[i][j] = 
    if s[i] == s[j] and i + 1 <= j - 1: dp[i+1][j-1] + 2
    if s[i] != s[j] or i + 1 > j - 1: dp[i+1][j] + dp[i][j-1]

有了动态规划的转移方程，我们就可以通过自底向上的方式计算出dp[i][j]，并最终得到字符串s的回文子串个数。

最后，我们来看一个例子。给定字符串s = "abba"，我们使用动态规划来计算它的回文子串个数。

首先，我们计算出dp[1][1]，dp[1][1] = 1，因为s[1:1]是一个回文子串。

接下来，我们计算出dp[1][2]，dp[1][2] = 3，因为s[1:2]是一个回文子串，s[1]和s[2]各有一个回文子串。

然后，我们计算出dp[2][2]，dp[2][2] = 5，因为s[2:2]是一个回文子串，s[1]和s[2]各有一个回文子串，s[1:2]是一个回文子串。

以此类推，我们可以计算出所有的dp[i][j]，并最终得到字符串s的回文子串个数为16。

回文子串是算法领域的一个经典问题，它不仅考察了算法设计的基本功，还考察了算法优化的方法。通过动态规划来解决回文子串问题，可以让我们更好地理解动态规划的原理和应用，并提高我们解决算法问题的水平。