从斐波那契数列和零一背包问题，全方位了解动态规划

2023-11-09 17:40:52

动态规划，算法中的思维利器
在算法的世界里，动态规划 (Dynamic Programming) 是一门影响深远的技巧，它以其独特的方式应对具有最优子结构性质的复杂问题，将问题分解为一系列子问题，一步步解决，避免重复计算。

斐波那契数列和零一背包问题，便是动态规划的经典应用场景，它们都完美契合动态规划的解题原则。在这篇文章中，我们将深入探索这两个问题，从它们入手，全面掌握动态规划的精髓。

斐波那契数列，动态规划的入门之作

斐波那契数列，源自大名鼎鼎的“兔子问题”，其本质是计算斐波那契数列中的第 n 个数，这个数列满足这样的递推公式：

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

其中，F(0) = 0，F(1) = 1。

递归的朴素解法：指数级时间复杂度

倘若我们采用朴素的递归方法，计算斐波那契数列中的第 n 个数，会陷入指数级的时间复杂度，这是因为每次计算 F(n) 时，都会重复计算 F(n-1) 和 F(n-2)。

动态规划的巧思：备忘录法

动态规划则能巧妙地解决这个问题，其核心思想在于利用备忘录 (Memoization) 避免重复计算。备忘录法，顾名思义，就是将已经计算过的子问题的解记录在备忘录中，当再次遇到相同的子问题时，直接从备忘录中查找即可。

def fibonacci(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return n
    if n in memo:
        return memo[n]
    memo[n] = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
    return memo[n]

在这个 Python 实现中，memo 字典充当备忘录，用于存储已经计算过的斐波那契数，当需要计算 F(n) 时，先检查备忘录中是否有，如果有，则直接返回，否则计算并将其放入备忘录。如此一来，将问题分解成子问题，利用备忘录避免重复计算，即可大大降低时间复杂度。

零一背包问题，动态规划的进阶之选

零一背包问题，也称 0-1 背包问题，是动态规划中的另一大经典应用。它的本质是，给定一个背包，容量为 C，以及 n 件物品，每件物品的重量为 w[i]，价值为 v[i]，在不超过背包容量的情况下，如何选择装入背包的物品，使得背包的总价值最大。

递归的朴素解法：指数级时间复杂度

采用朴素的递归方式，计算零一背包问题的最优解，也会陷入指数级的时间复杂度。这是因为每当选择是否将第 i 件物品放入背包时，都需要递归考虑两种情况：放入和不放入。

动态规划的妙招：状态转移方程

动态规划的魅力在于，它可以将复杂的零一背包问题分解成一系列子问题，并通过状态转移方程，将这些子问题的解逐步积累，最终得到问题的最优解。

状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

其中，dp[i][j] 表示前 i 件物品放入容量为 j 的背包时，能够获得的最大价值。dp[i-1][j] 表示前 i-1 件物品放入容量为 j 的背包时，能够获得的最大价值。dp[i-1][j-w[i]] + v[i] 表示将第 i 件物品放入容量为 j 的背包时，能够获得的最大价值。

def knapsack(w, v, C):
    n = len(w)
    dp = [[0] * (C + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, C + 1):
            if w[i-1] > j:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1])
    return dp[n][C]