直击「每日一题」：深入理解回旋镖的数量及其几何魅力

前端

2023-11-06 13:50:15

回旋镖的定义：

回旋镖是一种独特的几何形状，它由三个不同的点组成，其中两点之间的距离相等。换言之，回旋镖可以被视为两条相等线段连接而成的几何图形。

问题背景：

「每日一题」中给定平面上n对互不相同的点points，其中points[i] = [xi, yi]。题目要求我们计算出所有可能的回旋镖数量。

几何思维与数学分析：

为了解决这个问题，我们需要运用几何思维和数学分析相结合的方法。首先，我们可以想象将所有点都画在一个平面上，这样问题就转化为了平面几何问题。其次，我们可以利用勾股定理来计算两点之间的距离，并根据回旋镖的定义来判断三个点是否可以组成回旋镖。

算法设计：

预处理：

首先，我们需要对给定的点进行预处理，将它们按照x坐标排序。排序后，我们可以更轻松地找到满足回旋镖定义的点对。
枚举点对：

然后，我们可以枚举所有的点对，并检查每个点对是否可以与其他点组成回旋镖。为了提高效率，我们可以利用二分查找来查找满足条件的点。
计算回旋镖数量：

当我们找到满足条件的点对后，就可以计算出回旋镖的数量。由于每个点对可以与其他两点组成两个回旋镖，因此每个点对可以贡献两个回旋镖。

代码实现：

import math

def boomerang_count(points):
  """
  计算给定点集中的回旋镖数量。

  参数：
    points: 一个二维数组，其中points[i] = [xi, yi]表示平面上第i个点的坐标。

  返回：
    回旋镖的数量。
  """

  # 对点集按照x坐标进行排序。
  points.sort(key=lambda point: point[0])

  # 初始化回旋镖数量。
  boomerang_count = 0

  # 枚举所有的点对。
  for i in range(len(points)):
    for j in range(i + 1, len(points)):
      # 计算点对(i, j)之间的距离。
      distance_ij = math.sqrt((points[i][0] - points[j][0]) ** 2 + (points[i][1] - points[j][1]) **  2)

      # 利用二分查找来查找与点对(i, j)距离相等的点。
      index = bisect.bisect_left(points, [points[i][0], points[i][1] + distance_ij])
      if index < len(points) and points[index][0] == points[i][0] and points[index][1] == points[i][1] + distance_ij:
        # 找到了满足条件的点，增加回旋镖数量。
        boomerang_count += 2

  # 返回回旋镖数量。
  return boomerang_count


# 测试代码。
points = [[0, 0], [1, 0], [2, 0], [0, 1], [0, 2]]
print(boomerang_count(points))  # 2