解析 LeetCode 115：探究子序列计数的奥秘，掌握动态规划精髓

2023-12-12 16:52:11

算法思想：动态规划的魅力

动态规划是一种求解最优化问题的有力工具，它将大问题分解成一系列子问题，并通过求解这些子问题来逐步解决大问题。在解决 LeetCode 115 时，我们可以使用动态规划来求解子序列计数问题。

具体而言，我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示字符串 s 的前 i 个字符中包含字符串 t 的前 j 个字符的子序列的个数。我们使用动态规划来计算 dp 数组，具体过程如下：

初始化：设置 dp[0][0] = 1，因为空字符串中包含空子序列的个数为 1。
递推关系：对于每个 i 和 j，如果 s[i] == t[j]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]，否则 dp[i][j] = dp[i-1][j]。
边界条件：当 i 或 j 为 0 时，将对应的 dp 值设置为 0。

Python 代码实现：简洁高效

def numDistinct(s, t):
  # 初始化 dp 数组
  m, n = len(s), len(t)
  dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

  # 初始化第一行和第一列
  for i in range(m + 1):
    dp[i][0] = 1

  # 递推计算 dp 数组
  for i in range(1, m + 1):
    for j in range(1, n + 1):
      if s[i-1] == t[j-1]:
        dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
      else:
        dp[i][j] = dp[i-1][j]

  # 返回结果
  return dp[m][n]

常见问题解答：融会贯通

1. 如何理解子序列的定义？

子序列是指通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是。

2. 动态规划的递推关系是如何推导出来的？

对于每个 i 和 j，如果 s[i] == t[j]，则 dp[i][j] 表示字符串 s 的前 i 个字符中包含字符串 t 的前 j 个字符的子序列的个数。由于有两种情况：要么包含 s[i]，要么不包含 s[i]，因此递推关系为 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]。如果 s[i] != t[j]，则递推关系为 dp[i][j] = dp[i-1][j]。