动态规划——零钱问题自我理解

引言

在算法世界里，动态规划（Dynamic Programming）是一个重要的算法设计思想。它通过将一个大问题分解成一系列较小的子问题，然后依次解决这些子问题，最终解决大问题。动态规划算法在解决许多实际问题中都有着广泛的应用，如零钱问题、背包问题、最长公共子序列问题、编辑距离问题等等。

零钱问题

零钱问题是一个经典的动态规划问题。问题如下：

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

例如，给定硬币面额 coins = [1, 2, 5] 和总金额 amount = 11，则可以凑成总金额 11 的硬币组合有：

• 1 个 5 元硬币、1 个 2 元硬币和 4 个 1 元硬币，共 6 个硬币。
• 2 个 5 元硬币和 1 个 1 元硬币，共 3 个硬币。

因此，最少的硬币个数为 3。

动态规划解法

零钱问题的动态规划解法步骤如下：

1. 定义状态：设 dp[i] 表示凑成总金额 i 所需的最少的硬币个数。
2. 状态转移方程：对于总金额 i，如果硬币面额 coins[j] 小于或等于 i，那么凑成总金额 i 的硬币个数 dp[i] 可以由以下两种情况得到：
   • 如果不使用硬币面额 coins[j]，那么凑成总金额 i 的硬币个数为 dp[i] = dp[i]。
   • 如果使用硬币面额 coins[j]，那么凑成总金额 i 的硬币个数为 dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1)。
3. 初始化：dp[0] = 0，表示凑成总金额 0 所需的最少的硬币个数为 0。
4. 计算：从 1 开始，依次计算 dp[1]、dp[2]、...、dp[amount]。
5. 结果：返回 dp[amount]。

代码实现

以下是用 Python 实现的零钱问题的动态规划算法：

def coin_change(coins, amount):
    """
    计算凑成总金额所需的最少的硬币个数。

    Args:
        coins: 不同面额的硬币。
        amount: 总金额。

    Returns:
        凑成总金额所需的最少的硬币个数。
    """

    # 定义状态
    dp = [float('inf')] * (amount + 1)
    dp[0] = 0

    # 状态转移
    for i in range(1, amount + 1):
        for coin in coins:
            if coin <= i:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

    # 结果
    return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1

结语

动态规划算法是一种强大的算法设计思想，它可以帮助我们解决许多实际问题。零钱问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解成一系列子问题，我们可以逐步解决问题，最终得到最优解。希望本文对您理解动态规划算法有所帮助。