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深入剖析LeetCode 295：数据流的中位数

问题陈述

中位数是有序列表中间的数。如果列表长度是偶数，中位数则是中间两个数的平均值。 例如， [2,3,4] 的中位数是 3 [2,3] 的中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5 设计一个支持以下两种操作的数据结构：

• addNum(val) - 添加一个整数 val 到数据结构中。
• findMedian() - 返回目前所有元素的中位数。

示例：

addNum(1)
addNum(2)
findMedian() -> 1.5
addNum(3)
findMedian() -> 2

算法概述

为了解决LeetCode 295 数据流的中位数问题，我们提出一种基于最小堆和最大堆的解决方案。基本思路是将输入数据流分成两半：左半部分（最大堆）存储较小的元素，右半部分（最小堆）存储较大的元素。这样，中位数就是两个堆顶元素的平均值（如果输入数据流的长度为偶数）或左堆顶元素（如果输入数据流的长度为奇数）。

实现细节

import heapq

class MedianFinder:

    def __init__(self):
        # 最小堆，存储较大的元素
        self.max_heap = []
        # 最大堆，存储较小的元素
        self.min_heap = []

    def addNum(self, val):
        # 将新元素添加到最小堆
        heapq.heappush(self.min_heap, -val)
        # 将最小堆的根元素（最大值）移动到最大堆
        heapq.heappush(self.max_heap, -heapq.heappop(self.min_heap))

        # 平衡两个堆的大小，确保最大堆始终比最小堆多一个元素
        if len(self.max_heap) > len(self.min_heap):
            heapq.heappush(self.min_heap, -heapq.heappop(self.max_heap))

    def findMedian(self):
        # 如果两个堆的大小相同，中位数是两个堆顶元素的平均值
        if len(self.max_heap) == len(self.min_heap):
            return (self.max_heap[0] - self.min_heap[0]) / 2
        # 否则，中位数是最大堆的根元素
        else:
            return -self.max_heap[0]


# 示例
median_finder = MedianFinder()
median_finder.addNum(1)
median_finder.addNum(2)
print(median_finder.findMedian())  # 输出：1.5
median_finder.addNum(3)
print(median_finder.findMedian())  # 输出：2

算法分析

时间复杂度：

• addNum操作的时间复杂度为O(log n)，其中n是当前数据流的长度。
• findMedian操作的时间复杂度为O(1)，因为中位数可以直接从两个堆顶元素中计算得出。

空间复杂度：

算法的空间复杂度为O(n)，因为需要使用两个堆来存储数据。

应用场景

LeetCode 295 数据流的中位数算法在许多场景中都有应用，例如：

• 在数据分析中，中位数可以用来衡量一组数据的中心趋势。
• 在机器学习中，中位数可以用来处理异常值。
• 在网络通信中，中位数可以用来计算数据包的平均延迟。

结语

LeetCode 295 数据流的中位数是一个经典的算法问题，其解决方案需要对数据结构和算法有深入的理解。本文详细介绍了基于最小堆和最大堆的解决方案，并分析了算法的时间复杂度和空间复杂度。希望这篇文章对您理解LeetCode 295 数据流的中位数问题有所帮助。