旋转矩阵、平移矩阵、转换矩阵的神秘关系

后端

2023-03-15 09:09:08

旋转矩阵、平移矩阵和转换矩阵：三维世界的塑造者

在计算机图形学的浩瀚宇宙中，旋转矩阵、平移矩阵和转换矩阵犹如三位舞者，挥动着它们的魔法棒，塑造着三维世界的每一寸空间。它们共同构成了虚拟世界搭建的基础，让模型栩栩如生，场景引人入胜。

旋转矩阵：旋转的舞者

想象一个优雅的芭蕾舞者，在舞台上旋转着身体。旋转矩阵就是数学版的这位舞者，它可以将一个物体绕着特定的轴旋转一定角度。旋转轴可以是 X、Y 或 Z 轴，而旋转角度则由一个实数值表示。

平移矩阵：空间的漫步者

现在，让我们想象一个漫步在公园里的行人。平移矩阵的作用与之类似，它可以将一个物体在空间中平移一定距离。平移方向由一个三维向量表示，而平移距离则由向量的长度决定。

转换矩阵：旋转与平移的合体

如果我们将芭蕾舞者和行人结合起来，我们就得到了转换矩阵。转换矩阵将旋转和平移操作合二为一，允许我们同时旋转和移动物体。转换矩阵使用一个 4x4 的矩阵来表示，它包含了旋转矩阵和平移向量的元素。

旋转矩阵、四元数和欧拉角之间的转换

在计算机图形学中，旋转矩阵并不是表示旋转的唯一方式。还有其他两种广泛使用的方法：四元数和欧拉角。

四元数： 是一种四维向量，它可以通过一个标量和三个向量分量来表示。四元数的一个优点是它们可以避免万向节死锁问题，这是一种当旋转轴变得与一个特定平面对齐时发生的旋转限制。
欧拉角： 是一种旋转的三维角度。欧拉角的优点是它们便于理解和可视化。

旋转矩阵、四元数和欧拉角之间可以相互转换，具体方法如下：

旋转矩阵到四元数
四元数到旋转矩阵
欧拉角到旋转矩阵
旋转矩阵到欧拉角

代码示例：欧拉角到旋转矩阵

import numpy as np

def euler_angles_to_rotation_matrix(phi, theta, psi):
    """
    Convert Euler angles to a rotation matrix.

    Args:
        phi: The roll angle in radians.
        theta: The pitch angle in radians.
        psi: The yaw angle in radians.

    Returns:
        A 3x3 rotation matrix.
    """

    # Calculate the rotation matrices for each angle.
    R_phi = np.array([
        [1, 0, 0],
        [0, np.cos(phi), -np.sin(phi)],
        [0, np.sin(phi), np.cos(phi)]
    ])

    R_theta = np.array([
        [np.cos(theta), 0, np.sin(theta)],
        [0, 1, 0],
        [-np.sin(theta), 0, np.cos(theta)]
    ])

    R_psi = np.array([
        [np.cos(psi), -np.sin(psi), 0],
        [np.sin(psi), np.cos(psi), 0],
        [0, 0, 1]
    ])

    # Calculate the combined rotation matrix.
    R = R_phi.dot(R_theta).dot(R_psi)

    return R