美化数组的最小删除数：动态规划详解

后端

2023-09-15 11:54:10

用动态规划美化你的数组：删除元素以获得最优雅的外观

在计算机科学的世界中，我们经常会遇到需要提升数据美感的问题。数组美化就是其中之一，它要求我们重新排列数组中的元素，使其看起来更赏心悦目或满足特定条件。而美化数组的最小删除数问题，就是一个经典的谜题，考验着我们的智力和算法优化能力。

问题简述：

给你一个数组 nums，其中每个元素 nums[i] 代表该元素在数组中的美观值。你的任务是通过删除数组中的一些元素，让剩余的元素满足以下美观标准：

对于任意相邻元素 nums[i] 和 nums[i+1]，都有 nums[i] <= nums[i+1]

你的目标是找到一种删除方案，既能满足美观标准，又能最小化删除的元素数量。

动态规划的妙用：

动态规划是一种自底向上的问题求解方法，特别适合解决具有重叠子问题特点的问题。对于美化数组的最小删除数问题，我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在考虑数组中前 i 个元素，并且删除 j 个元素的情况下，满足美观标准所需的最小删除数。

递推关系：

dp[i][j] 的值可以通过以下递推关系计算：

dp[i][j] = min{
    dp[i-1][j], // 不删除第 i 个元素
    dp[k][j-1] + 1 // 删除第 i 个元素，其中 k < i 且 nums[k] <= nums[i]
}

dp[i-1][j]： 不删除第 i 个元素，则 dp[i][j] 的值与 dp[i-1][j] 相同。
dp[k][j-1] + 1： 删除第 i 个元素，则我们必须在数组中找到一个元素 k，满足 k < i 且 nums[k] <= nums[i]，并使用 dp[k][j-1] 的值来计算删除该元素所需的最小删除数。

代码实现：

def min_deletion(nums):
    n = len(nums)
    dp = [[float('inf') for _ in range(n+1)] for _ in range(n+1)]

    # base case
    dp[0][0] = 0

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(i+1):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[k][j-1] + 1 for k in range(i) if nums[k] <= nums[i])

    return dp[n][0]