数据结构和算法系列——LeetCode 101：对称二叉树

对称二叉树：理解镜像对称的奥秘

在算法和数据结构的世界中，我们经常会遇到对称性的概念。今天，我们将深入探讨一个经典的算法问题——LeetCode 101：对称二叉树。通过探索它的定义、解决方法和代码实现，我们将深入了解对称性在算法中的应用。

什么是对称二叉树？

对称二叉树，顾名思义，就是一棵以轴线为分界线镜像对称的二叉树。具体来说，这意味着：

• 根节点的值相同。
• 左子树和右子树互为镜像。

想象一下，如果你把一棵对称二叉树的根节点折起来，那么左右子树就会重合。这种完美的镜像对称性是定义对称二叉树的关键。

解决对称二叉树问题的两种方法

解决 LeetCode 101 题，即判断一棵二叉树是否对称，有两种主要方法：

1. 递归法

递归法将问题分解为更小的子问题。对于对称二叉树，我们可以将问题分解为比较子树的对称性。基本规则如下：

• 如果根节点为空，则树的对称性为真。
• 如果根节点的左右子树都为空，则树的对称性为真。
• 如果根节点的左右子树都不为空，则比较左子树和右子树的对称性。
• 如果左右子树都对称，则树的对称性为真。否则，为假。

代码示例（Python）：

def is_symmetric_recursive(root):
    if not root:
        return True
    if not root.left and not root.right:
        return True
    if not root.left or not root.right:
        return False
    return is_symmetric_recursive(root.left) and is_symmetric_recursive(root.right)

2. 迭代法

迭代法使用队列来逐层比较树的节点。具体步骤如下：

• 将根节点入队。
• 循环以下步骤，直到队列为空：
  • 从队列中取出两个节点，记为左节点和右节点。
  • 如果左右节点都为空，则继续。
  • 如果左右节点有一个为空，则返回假。
  • 如果左右节点的值不相等，则返回假。
  • 将左节点的左子树和右节点的右子树入队。
  • 将左节点的右子树和右节点的左子树入队。
• 如果队列中的所有节点都比较成功，则返回真。

代码示例（Python）：

def is_symmetric_iterative(root):
    if not root:
        return True
    queue = [root.left, root.right]
    while queue:
        left_node = queue.pop(0)
        right_node = queue.pop(0)
        if not left_node and not right_node:
            continue
        if not left_node or not right_node:
            return False
        if left_node.val != right_node.val:
            return False
        queue.append(left_node.left)
        queue.append(right_node.right)
        queue.append(left_node.right)
        queue.append(right_node.left)
    return True

示例

考虑以下二叉树：

          1
        /   \
       2     2
      / \   / \
     3   4 4   3

使用递归法或迭代法，我们可以确定这棵树是对称的。

结论

对称二叉树问题是理解算法和数据结构中对称性概念的重要途径。通过探索递归和迭代这两种解决方法，我们不仅增强了算法技能，还加深了对对称性的理解。掌握这些算法技巧和数据结构知识，为我们在该领域的探索之旅奠定了坚实的基础。

常见问题解答

1. 什么是对称性的另一种常见定义？
   答：对称性还可以定义为围绕轴线旋转后保持不变的属性。

2. 还有其他方法可以解决对称二叉树问题吗？
   答：除了递归和迭代法，还可以使用广度优先搜索（BFS）或深度优先搜索（DFS）来解决这个问题。

3. 对称二叉树在实际应用中有什么意义？
   答：对称二叉树在加密、图像处理和数据压缩等领域有广泛应用。

4. 递归法和迭代法哪个更有效率？
   答：递归法在树的深度很小时更有效率，而迭代法在树的深度很大时更有效率。

5. 对称二叉树的哪些特性使它与非对称二叉树不同？
   答：对称二叉树左右子树互为镜像，根节点值相同，而非对称二叉树则不具有这些特性。