树状数组：初学者入门指南

2023-11-25 20:43:25

树状数组是一种高效的数据结构，用于解决特定的区间更新和查询问题。与传统的数组不同，它允许在对特定区间元素进行修改时，以 O(log n) 的时间复杂度更新所有相关元素。此外，它还支持在给定区间内快速查询元素总和，同样具有 O(log n) 的时间复杂度。

树状数组的构建

树状数组本质上是一棵完全二叉树，它由一个数组表示。数组的元素按层存储，每一层对应于二叉树的某一层。树状数组的构建方法如下：

分配数组： 分配一个大小为 n+1 的数组，其中 n 是原始数组的元素个数。额外的一个元素用于根节点。
初始化： 将数组的所有元素初始化为 0。
建立关系： 对于数组中每个元素 index，计算其父节点的索引 parent_index 为 index/2（向下取整）。

区间更新

树状数组允许我们高效地更新特定区间的元素。区间更新操作如下：

找到起始位置： 从起始索引开始，反复将索引减半并更新对应元素。
找到结束位置： 从结束索引开始，将索引减半并更新对应元素。

区间查询

我们可以使用树状数组快速查询给定区间内元素的总和。区间查询操作如下：

找到起始位置： 将起始索引减半，同时累加对应元素。
找到结束位置： 将结束索引减半，同时累加对应元素。
计算总和： 从结束位置减去起始位置的和即可得到区间总和。

代码示例

以下是使用 C++ 实现的树状数组代码示例：

struct BIT {
    vector<int> tree;
    int n;

    BIT(int n) {
        this->n = n;
        tree.resize(n + 1);
    }

    void update(int idx, int val) {
        while (idx <= n) {
            tree[idx] += val;
            idx += (idx & -idx);
        }
    }

    int query(int idx) {
        int sum = 0;
        while (idx > 0) {
            sum += tree[idx];
            idx -= (idx & -idx);
        }
        return sum;
    }
};