二叉树的前序遍历与树的后根遍历之间的关系

对于一棵二叉树，它的前序遍历和后根遍历存在着某种特殊的对应关系。本文将深入探讨这种关系，并通过几个示例来说明其原理。

二叉树的遍历

二叉树的遍历是沿着树的结构，有系统地访问树中每个结点的过程。常见的遍历方法有三种：前序遍历、中序遍历和后序遍历。

前序遍历

前序遍历按照根结点、左子树、右子树的顺序访问二叉树中的结点。它输出的结点序列为：根结点、左子树的根结点、左子树的左子树的根结点、……、左子树的最右结点、右子树的根结点、右子树的左子树的根结点、……、右子树的最右结点。

后根遍历

后根遍历按照左子树、右子树、根结点的顺序访问二叉树中的结点。它输出的结点序列为：左子树的最左结点、左子树的左子树的最右结点、……、左子树的根结点、右子树的最左结点、右子树的左子树的最右结点、……、右子树的根结点、根结点。

二叉树的前序遍历与树的后根遍历之间的关系

对于一棵二叉树，它的后根遍历序列实际上等同于它的镜像二叉树的前序遍历序列。镜像二叉树是指将原二叉树关于根结点的左右子树进行交换得到的二叉树。

举例说明

假设有一棵二叉树：

        A
       / \
      B   C
     / \   \
    D   E   F

它的前序遍历序列为：A、B、D、E、C、F。

它的后根遍历序列为：D、E、B、F、C、A。

将后根遍历序列中的结点顺序进行交换，得到的前序遍历序列为：A、C、F、C、B、E、D。

不难发现，这个序列正是原二叉树的镜像二叉树的前序遍历序列。

证明

该关系的证明可以通过数学归纳法进行。

• 基例： 对于只有一棵结点的二叉树，它的前序遍历序列和后根遍历序列都只有一个结点，显然相等。
• 归纳步骤： 假设对于具有n个结点的二叉树，它的后根遍历序列等同于其镜像二叉树的前序遍历序列。现在考虑具有n+1个结点的二叉树。它的后根遍历序列可以分解为以下三部分：左子树的后根遍历序列、右子树的后根遍历序列和根结点。根据归纳假设，左子树和右子树的后根遍历序列分别等同于它们的镜像二叉树的前序遍历序列。因此，二叉树的后根遍历序列等同于它的镜像二叉树的前序遍历序列。

应用

这种关系在计算机科学中有很多应用，例如：

• 确定二叉树的形状： 通过比较二叉树的前序遍历和后根遍历序列，可以确定二叉树的形状，例如是否是满二叉树、完全二叉树或平衡二叉树。
• 二叉树的重建： 给定一个二叉树的前序遍历和后根遍历序列，可以重建该二叉树。
• 树的相似性判断： 通过比较两个二叉树的前序遍历和后根遍历序列，可以判断这两个树是否相似。