「栈」揭秘 LeetCode 84：柱状图中的最大矩形，独创视角助你攻克难关

2024-01-04 23:48:48

引言：算法与数据结构的完美邂逅

在计算机科学的浩瀚领域中，算法与数据结构犹如相辅相成的两翼，共同构筑了软件开发和问题求解的基础。算法为我们提供了解决问题的步骤和策略，而数据结构则为算法提供了高效组织和处理数据的框架。在今天这道题目的解析中，我们将亲身体验栈这一经典数据结构的强大威力，见证算法与数据结构的完美邂逅，开启算法思维的全新篇章。

题目剖析：柱状图中的最大矩形

「柱状图中的最大矩形」这道题目了一个由 n 个非负整数构成的数组，每个整数代表柱状图中一根柱子的高度。我们的目标是求出柱状图中可以容纳的最大矩形面积。乍一看，这似乎是一个复杂的问题，但运用适当的算法和数据结构，我们可以将问题分解成更容易处理的部分。

栈的登场：单调递增栈的妙用

栈是一种先进后出的数据结构，它就像一个垂直放置的弹簧，后放入的元素会优先弹出。在解决这道题时，我们将用到一个单调递增栈。顾名思义，单调递增栈中的元素始终保持从小到大的顺序。换句话说，栈顶元素始终是栈中最大的元素。

我们如何利用单调递增栈来解决这道题呢？首先，我们将柱状图中的每个柱子看作一个矩形的宽度。然后，我们将柱状图从左到右扫描一遍。对于每个柱子，我们检查栈顶元素是否比当前柱子矮。如果是，则说明当前柱子可以与栈顶元素形成一个矩形，其高度为栈顶元素的高度，宽度为当前柱子和栈顶元素之间的距离。我们将这个矩形面积压入栈中。

示例解析：步步为营，直击本质

为了更好地理解这一过程，我们来看一个具体的示例。假设柱状图的高度为 [2, 1, 5, 6, 2, 3]。

从左到右扫描柱状图：

对于第一个柱子（高度为 2），栈为空，因此我们直接将 2 压入栈中。
对于第二个柱子（高度为 1），它比栈顶元素 2 小，因此我们计算矩形面积：2 x (2 - 0) = 4。我们弹出栈顶元素 2，并将 4 压入栈中。
对于第三个柱子（高度为 5），它比栈顶元素 4 大，因此我们直接将 5 压入栈中。
对于第四个柱子（高度为 6），它比栈顶元素 5 大，因此我们直接将 6 压入栈中。
对于第五个柱子（高度为 2），它比栈顶元素 6 小，因此我们计算矩形面积：6 x (4 - 0) = 24。我们弹出栈顶元素 6 和 5，并将 24 压入栈中。
对于第六个柱子（高度为 3），它比栈顶元素 24 小，因此我们计算矩形面积：24 x (2 - 0) = 48。我们弹出栈顶元素 24，并将 48 压入栈中。

最终，栈中只包含一个元素：48，这正是柱状图中可以容纳的最大矩形面积。

代码实现：Python 解法，优雅简洁

def maximal_rectangle(heights):
    """
    :type heights: List[int]
    :rtype: int
    """
    stack = []
    max_area = 0
    
    for i, height in enumerate(heights):
        while stack and height < heights[stack[-1]]:
            h = heights[stack.pop()]
            w = i if not stack else i - stack[-1] - 1
            max_area = max(max_area, h * w)
        stack.append(i)
    
    while stack:
        h = heights[stack.pop()]
        w = len(heights) if not stack else len(heights) - stack[-1] - 1
        max_area = max(max_area, h * w)
    
    return max_area