解构华为OD机试 - 两个字符串间的最短路径问题：Java、JavaScript、Python、C和C++
2023-10-23 08:08:09
如何使用动态规划解决字符串转换问题
在计算机科学中，动态规划是一种强大的算法设计范例，用于解决优化问题，其中较小问题的最优解可以用来构建较大问题的最优解。在本文中，我们将重点探讨如何使用动态规划来解决一个特定问题：字符串转换 。
问题
假设我们有两个字符串 A 和 B，它们都由小写字母组成。我们可以通过以下两种操作将字符串 A 转换为字符串 B：
- 删除一个字符，代价为 1。
- 替换一个字符为另一个字符，代价为 1。
我们的目标是找到将字符串 A 转换为字符串 B 的最短路径，并输出该路径的代价。
动态规划算法
为了解决这个问题，我们可以使用动态规划。动态规划算法一般遵循以下步骤：
- 定义子问题： 将原问题分解成更小的子问题，每个子问题都更易解决。
- 存储子问题的解： 使用数组或其他数据结构存储每个子问题的解，避免重复计算。
- 逐步解决子问题： 从最小的子问题开始，使用存储的子问题解来逐步解决更大的子问题。
- 得到最终解： 最后，使用存储的子问题解来得到原问题的最优解。
将问题分解为子问题
我们可以将原问题分解为以下子问题：
- 将字符串 A 的前 i 个字符转换为字符串 B 的前 j 个字符的最短路径代价。
存储子问题的解
我们将使用一个二维数组 dp 来存储子问题的解。其中，dp[i][j] 表示将字符串 A 的前 i 个字符转换为字符串 B 的前 j 个字符的最短路径代价。
逐步解决子问题
我们从最小的子问题开始，逐步解决更大的子问题。对于每个子问题 (i, j)：
- 如果 A[i] 和 B[j] 相等，则 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]（因为我们无需进行任何操作）。
- 否则，我们考虑以下两种操作：
- 删除 A[i]：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1
- 替换 A[i] 为 B[j]：dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
- 我们选择代价较小的一种操作。
得到最终解
最终，dp[len(A)][len(B)] 给出了将字符串 A 转换为字符串 B 的最短路径代价。
代码示例
以下代码提供了 Java 版的动态规划算法实现：
public class StringPath {
public static int shortestPath(String a, String b) {
// 参数检查
if (a == null || b == null || a.length() == 0 || b.length() == 0) {
return -1;
}
// 初始化动态规划数组
int[][] dp = new int[a.length() + 1][b.length() + 1];
// 初始化第一行和第一列
for (int i = 0; i <= a.length(); i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 0; j <= b.length(); j++) {
dp[0][j] = j;
}
// 动态规划计算最短路径
for (int i = 1; i <= a.length(); i++) {
for (int j = 1; j <= b.length(); j++) {
if (a.charAt(i - 1) == b.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
}
}
}
// 返回最短路径的代价
return dp[a.length()][b.length()];
}
public static void main(String[] args) {
String a = "intention";
String b = "execution";
int shortestPath = shortestPath(a, b);
System.out.println("最短路径的代价为：" + shortestPath);
}
}
示例用法
我们可以使用以下代码来测试算法：
String a = "intention";
String b = "execution";
int shortestPath = shortestPath(a, b);
System.out.println("最短路径的代价为：" + shortestPath);
对于字符串 "intention" 和 "execution"，最短路径的代价为 5。
常见问题解答
1. 除了删除和替换，算法是否支持其他操作？
是的，算法可以根据需要轻松扩展以支持其他操作。例如，可以添加一个插入操作，代价为 1。
2. 如何处理空字符串的情况？
将空字符串转换为任何非空字符串的代价是字符串的长度。
3. 算法的时间复杂度是多少？
该算法的时间复杂度为 O(mn)，其中 m 和 n 分别是字符串 A 和 B 的长度。
4. 算法的空间复杂度是多少？
该算法的空间复杂度为 O(mn)。
5. 动态规划算法在哪些其他问题中可以应用？
动态规划算法可以用于解决许多其他优化问题，例如最长公共子序列、背包问题和最短路径问题。
