DFS 是如何衍生出回溯法并解决 N 皇后问题的

前端

2023-11-10 07:37:31

DFS 和回溯算法概述

深度优先搜索（DFS）和回溯算法都是树的搜索算法。DFS 算法通过在树中选择一条路径，并沿着该路径一直搜索下去的方式来遍历树。如果当前路径遇到死胡同，则回溯到上一个分叉点，然后选择另一条路径继续搜索。

回溯算法与 DFS 算法类似，但回溯算法在搜索过程中会使用一个剪枝函数来优化搜索过程。剪枝函数可以帮助回溯算法提前识别出不满足约束条件的搜索路径，从而避免沿着这些路径继续搜索，从而提高搜索效率。

N 皇后问题

N 皇后问题是一个经典的计算机科学问题。问题如下：给定一个 N×N 的棋盘，放置 N 个皇后在棋盘上，使得任何两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。

回溯法求解 N 皇后问题

回溯法可以用来求解 N 皇后问题。具体步骤如下：

将棋盘初始化为空，并将皇后计数器设置为 0。
对于每一行，尝试将皇后放在该行的每一个位置上。
如果皇后可以放在该位置上，则将皇后放在该位置上，并将皇后计数器加 1。
如果皇后不能放在该位置上，则回溯到上一个放置皇后的行，并尝试将皇后放在该行的下一个位置上。
重复步骤 2-4，直到所有皇后都放在棋盘上。

算法分析

回溯法求解 N 皇后问题的复杂度为 O(N!)。这是因为对于每一行，都有 N 个位置可以放置皇后。因此，总共有 N^N 种放置皇后的方法。回溯法需要检查所有这些方法，以找到一种满足约束条件的方法。

代码示例

以下是用 Python 实现的回溯法求解 N 皇后问题的代码：

def solve_n_queens(n):
    """
    求解 N 皇后问题。

    Args:
        n: 棋盘大小。

    Returns:
        一个包含所有解的列表。
    """

    # 初始化棋盘。
    board = [['.' for _ in range(n)] for _ in range(n)]

    # 初始化皇后计数器。
    queen_count = 0

    # 初始化解列表。
    solutions = []

    # 尝试将皇后放在每一行。
    for row in range(n):
        # 尝试将皇后放在该行的每一个位置上。
        for col in range(n):
            # 如果皇后可以放在该位置上。
            if is_valid_position(board, row, col):
                # 将皇后放在该位置上。
                board[row][col] = 'Q'

                # 将皇后计数器加 1。
                queen_count += 1

                # 如果所有皇后都放在棋盘上。
                if queen_count == n:
                    # 将棋盘添加到解列表中。
                    solutions.append(board)

                # 回溯到上一个放置皇后的行。
                else:
                    for i in range(row - 1, -1, -1):
                        for j in range(n):
                            if board[i][j] == 'Q':
                                board[i][j] = '.'
                                queen_count -= 1
                                break

                # 继续尝试将皇后放在该行的下一个位置上。
                continue

    # 返回解列表。
    return solutions


def is_valid_position(board, row, col):
    """
    判断给定位置是否可以放置皇后。

    Args:
        board: 棋盘。
        row: 行号。
        col: 列号。

    Returns:
        如果给定位置可以放置皇后，则返回 True；否则，返回 False。
    """

    # 检查该行是否已经有皇后。
    for i in range(col):
        if board[row][i] == 'Q':
            return False

    # 检查该列是否已经有皇后。
    for i in range(row):
        if board[i][col] == 'Q':
            return False

    # 检查对角线是否已经有皇后。
    for i, j in zip(range(row, -1, -1), range(col, -1, -1)):
        if board[i][j] == 'Q':
            return False

    for i, j in zip(range(row, -1, -1), range(col, n)):
        if board[i][j] == 'Q':
            return False

    # 如果没有皇后，则返回 True。
    return True