每日难题：巧解斐波那契数列类型题

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2023-09-09 23:59:07

每日一算，智慧添砖！今天我们来挑战一道斐波那契数列类型的难题，看看你能否用敏锐的头脑找到答案。

斐波那契数列的奥秘

斐波那契数列是一个令人着迷的数列，它从 1、1 开始，后续每一项都等于前两项之和：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144，如此延伸下去。

难题详解

设有一个长度为 n 的数组，其中的每一项 a[i] 都是斐波那契数列中的一个数字。现在，你需要找出数组中连续出现的最长的斐波那契子序列 的长度。

例如，对于数组 a = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13], 最长的斐波那契子序列是 [1, 2, 3, 5, 8, 13], 长度为 6。

解题思路

我们可以使用 动态规划 来解决这个问题。具体步骤如下：

创建一个二维表 dp, 其中 dp[i][j] 表示以 a[i] 和 a[j] 为斐波那契子序列开头的两段子序列的最长长度 。
初始化 dp[i][j] 为 2，因为任何两个相邻的斐波那契数都构成了长度为 2 的斐波那契子序列。
对于数组中的每个元素 a[i], 我们遍历它后面的所有元素 a[j] (i < j)。
如果 a[j] - a[i] 是斐波那契数列中的一个数字（即 a[j] - a[i] == a[k] 且 i < k < j), 那么我们更新 dp[i][j] 为 max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j])。
最后，返回 dp 表中的最大值。

代码实现

def longest_fibonacci_subsequence(a):
    """
    返回数组中连续出现的最长斐波那契子序列的长度。

    参数：
    a：长度为 n 的数组，其中每一项都是斐波那契数列中的一个数字。

    返回：
    最长斐波那契子序列的长度。
    """

    # 创建二维表 dp
    n = len(a)
    dp = [[2] * n for _ in range(n)]

    # 初始化 dp 表
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if a[j] - a[i] in a:
                dp[i][j] = 3

    # 动态规划
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            for k in range(i, j):
                if a[j] - a[i] == a[k]:
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j])

    # 返回最大值
    return max(max(row) for row in dp)