解剑指 Offer：巧算1+2+...+n， tanpa 程序设计

问题引出

剑指 Offer 中的求 1+2+...+n 问题，乍看起来很简单，但实际解起来还是需要一定技巧的。如果我们不能使用乘除法、for、while、if、else、switch、case 等及条件判断语句，那么传统的求解方法就无法使用了。

解法一：尾递归

尾递归是一种特殊的递归形式，它总是将函数的最后一步调用作为递归调用。尾递归之所以重要，是因为它可以在不使用额外的内存的情况下实现递归。在求 1+2+...+n 的问题中，我们可以使用尾递归来计算出结果。

def sum_to_n(n):
    """
    使用尾递归求 1+2+...+n 的结果。

    Args:
        n: 要计算的数。

    Returns:
        1+2+...+n 的结果。
    """
    def sum_to_n_helper(n, current_sum):
        """
        使用尾递归求 1+2+...+n 的结果的辅助函数。

        Args:
            n: 要计算的数。
            current_sum: 当前的和。

        Returns:
            1+2+...+n 的结果。
        """
        if n == 0:
            return current_sum
        else:
            return sum_to_n_helper(n-1, current_sum+n)

    return sum_to_n_helper(n, 0)

解法二：数学归纳法

数学归纳法是一种数学证明方法，它可以用来证明一个命题对所有自然数都成立。在求 1+2+...+n 的问题中，我们可以使用数学归纳法来证明该命题：

1+2+...+n = n*(n+1)/2

对于n=1的情况，显然成立。

假设对于n=k的情况，命题成立，即：

1+2+...+k = k*(k+1)/2

那么对于n=k+1的情况，我们可以得到：

1+2+...+k+(k+1) = (1+2+...+k)+(k+1) = k*(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)*(k+2)/2

因此，命题对所有自然数都成立。

总结

求 1+2+...+n 的问题看似简单，但实际上还是需要一定的技巧才能解决。我们介绍了两种求解方法：尾递归和数学归纳法，详细分析了它们的步骤和原理。希望通过这篇文章，能帮助读者理解这道题目的本质，并能举一反三，解决更多类似的问题。