问题1：for循环顺序影响算法复杂度吗？

01背包问题：你真的理解吗？揭秘5大关键问题

01背包问题，一种看似简单却又处处暗藏玄机的算法问题。 你是不是以为自己对01背包问题了如指掌？但当你深入思考这些关键问题时，你可能就会发现自己对这个经典算法的理解还存在盲点。

本篇博客将带你从0开始剖析01背包问题，解答5大关键问题，让你对这个算法有更全面的理解。

直觉告诉我们，for循环的顺序不影响算法的复杂度。但事实并非如此！01背包问题的动态规划解法中，循环的顺序会影响空间复杂度。

当我们使用二维数组存储状态时，外层循环遍历物品，内层循环遍历背包容量。如果我们先遍历物品，再遍历容量，空间复杂度为O(NM)；但如果我们先遍历容量，再遍历物品，空间复杂度可以优化到O(N)。

01背包问题通常需要二维数组来存储状态。如果背包容量较大，这个二维数组的空间消耗会成为问题。

为了优化空间，我们可以利用动态规划的性质，只保留当前行和前一行的状态，从而将空间复杂度降低到O(N)。

没错！01背包问题可以用一维数组解决，这需要用到滚动数组的技巧。

滚动数组将二维数组每一行的数据依次存储在一维数组中，从而节省了额外的空间。 虽然代码实现略显复杂，但空间复杂度确实可以优化到O(N)。

01背包问题的状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

其中：

• dp[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包中的最大价值
• w[i]表示第i件物品的重量
• v[i]表示第i件物品的价值

这个方程表示，在考虑第i件物品时，我们有两种选择：要么不放入背包，要么放入背包，取价值较大的那个。

求出01背包问题的解后，如何还原具体放入背包的物品？

我们可以利用状态转移方程中的第二项，如果dp[i][j] > dp[i-1][j]，则第i件物品被放入背包。 通过逆向回溯，即可得到放入背包的物品集合。

掌握这些关键问题，你对01背包问题的理解将更进一步。 下次遇到01背包问题，相信你一定可以轻松解决！

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