通过贪婪算法巧解最长递增子序列问题

闲谈

2023-12-16 16:17:30

贪婪算法解析

最长递增子序列问题的贪婪算法的核心思想是：在每次选择中，总是选择当前可以延伸的最长递增子序列。具体步骤如下：

初始化一个长度为1的递增子序列，包含数组的第一个元素。
从数组的第二个元素开始，依次遍历每个元素。
如果当前元素大于递增子序列的最后一个元素，则将当前元素添加到递增子序列的末尾。
如果当前元素小于或等于递增子序列的最后一个元素，则替换递增子序列中最后一个元素为当前元素，确保子序列的递增性。
重复步骤3和步骤4，直到遍历完整个数组。

算法正确性证明

贪婪算法的正确性可以从两个方面证明：

每次选择都能保证当前递增子序列是最长的，因为在每个步骤中，我们总是选择当前可以延伸的最长递增子序列。
算法最终找到的递增子序列是整个数组中最长的，因为我们从数组的第一个元素开始，依次遍历每个元素，确保了算法不会遗漏任何可能的最长递增子序列。

时间复杂度分析

贪婪算法的时间复杂度为O(n log n)，其中n为数组的长度。这是因为在每次选择中，我们都需要在递增子序列中找到最后一个小于或等于当前元素的位置，这可以通过二分查找算法实现，二分查找算法的时间复杂度为O(log n)。

代码示例

def longest_increasing_subsequence(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: int
    """
    if not nums:
        return 0

    # 初始化递增子序列
    dp = [1] * len(nums)

    # 从数组的第二个元素开始，依次遍历每个元素
    for i in range(1, len(nums)):
        # 寻找递增子序列中最后一个小于或等于当前元素的位置
        left, right = 0, i - 1
        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            if nums[mid] <= nums[i]:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1

        # 更新递增子序列的长度
        dp[i] = max(dp[i], dp[left] + 1)

    # 返回最长递增子序列的长度
    return max(dp)

# 测试用例
nums = [10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60, 80]
print(longest_increasing_subsequence(nums))  # 输出：6