杨辉三角：从数学到编程，步步深入

闲谈

2023-10-10 12:06:35

杨辉三角：数学与编程的奇妙邂逅

在数字的世界里，杨辉三角是一个无限的数字之网，闪烁着数学与编程交织的魅力。这个看似简单的三角形背后隐藏着丰富的数学知识，更在计算机科学领域有着广泛的应用。

杨辉三角：数学之美

杨辉三角由数字组成，每一行从 1 开始，向两边逐渐增加。相邻两个数字的和等于其上方两行的数字之和。这种看似简单的模式蕴含着令人惊叹的数学特性：

组合计数： 杨辉三角的第 n 行第 k 个数字表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
二项式定理展开： (a+b)^n 的展开式中的每一项系数都可以在杨辉三角中找到。
概率计算： 杨辉三角可用于计算二项分布的概率。

杨辉三角：编程中的妙用

杨辉三角的数学特性使其在编程中发挥着不可忽视的作用：

组合计数： 计算机算法经常需要计算组合数，而杨辉三角提供了快速高效的方法。
二项式定理展开： 在需要展开二项式定理时，杨辉三角可以轻松地提供每一项的系数。
概率计算： 人工智能和机器学习中的许多算法都需要计算概率，而杨辉三角在其中扮演着重要的角色。

用代码构建杨辉三角

构建杨辉三角有几种常见的编程方法：

二维数组法： 使用二维数组存储每一行的数字，是实现杨辉三角最直接的方法。

def generate_pascal_triangle(n):
    triangle = [[1] * (i + 1) for i in range(n)]
    for i in range(2, n):
        for j in range(1, i):
            triangle[i][j] = triangle[i - 1][j - 1] + triangle[i - 1][j]
    return triangle

递归法： 每个杨辉三角数字都可以从上一行的数字递归计算，从而实现三角形的构建。

def pascal_triangle(n):
    if n == 0:
        return [1]
    row = pascal_triangle(n - 1)
    return [1] + [row[i] + row[i + 1] for i in range(n - 1)] + [1]

动态规划法： 动态规划通过保存中间结果，优化递归算法。

def pascal_triangle_dp(n):
    triangle = [[1] * (i + 1) for i in range(n)]
    for i in range(2, n):
        for j in range(1, i):
            triangle[i][j] = triangle[i - 1][j - 1] + triangle[i - 1][j]
    return triangle