从第15题开始，最大子数组和：动态规划才是王道

2024-02-14 17:21:29

最大子数组和问题，可谓是算法学习路上的一块试金石。它考察的不仅是对算法的理解，更重要的是对问题本质的分析能力。很多初学者面对这道题，往往一头雾水，不知从何下手。别担心，今天我们就来一层层揭开它的神秘面纱，让你轻松掌握两种解法：动态规划和分支法。

首先，咱们得搞清楚问题是什么。最大子数组和，顾名思义，就是在一个数组中，找到一个连续的子数组，使得这个子数组的元素和最大。比如说，数组[-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]，它的最大子数组是[4, -1, 2, 1]，和为6。

那么，如何找到这个最大子数组呢？

动态规划：像侦探一样抽丝剥茧

动态规划就像一个高明的侦探，它会把复杂的问题分解成一个个小的线索，然后根据线索之间的联系，逐步推理出最终的答案。

对于最大子数组和问题，我们可以把“以第i个元素结尾的最大子数组和”定义为一个状态，用dp[i]表示。换句话说，dp[i]就是包含数组第i个元素的所有子数组中，和最大的那个子数组的和。

接下来，我们就要寻找线索了。dp[i]和dp[i-1]之间有什么联系呢？

仔细想想，dp[i]要么是dp[i-1]加上当前元素nums[i]（也就是说，当前元素加入了之前的最大子数组），要么就是nums[i]本身（也就是说，之前的最大子数组对当前元素来说没什么帮助，反而拖后腿了）。

于是，我们得到了一个关键的递推公式：

dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])

有了这个公式，我们就可以像侦探一样，从dp[0]开始，一步步推算出dp[1]、dp[2]……直到dp[n-1]，其中n是数组的长度。最终，所有dp[i]中的最大值，就是我们要找的最大子数组和。

分支法：简单粗暴，但效率不高

除了动态规划，还有一种更直接的方法，那就是分支法，也叫暴力枚举法。

分支法的思路很简单：既然要找最大子数组，那我们就干脆把所有可能的子数组都列出来，然后挨个计算它们的和，最后找出最大的那个不就行了？

想法是挺好，但问题是，一个长度为n的数组，它有多少个子数组呢？答案是n*(n+1)/2个。当n很大的时候，这个数字可是相当惊人的。

举个例子，如果数组长度是10000，那就要计算50005000个子数组的和，这可不是闹着玩的。所以，分支法的效率比较低，只适合处理规模较小的数组。

代码实现：眼见为实

光说不练假把式，下面我们就来看看两种方法的代码实现，以C++为例。

动态规划：

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
  int n = nums.size();
  vector<int> dp(n);
  dp[0] = nums[0];
  int maxSum = dp[0]; 
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
    maxSum = max(maxSum, dp[i]);
  }
  return maxSum;
}

分支法：

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
  int maxSum = INT_MIN;
  for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    int sum = 0;
    for (int j = i; j < nums.size(); j++) {
      sum += nums[j];
      maxSum = max(maxSum, sum);
    }
  }
  return maxSum;
}