台阶情缘：一步两步往高处攀

闲谈

2023-10-01 21:16:58

登山之旅：从起点到终点

想象一下，你面前有一座高耸的楼梯，台阶数量为 n。为了到达楼梯顶端，你可以选择每次迈出一级台阶或两级台阶。那么，有多少种不同的方式可以让你成功登顶？

数学视角：斐波那契数列的魅力

面对这个问题，数学家们早已给出了优美的解答：台阶总数等于从起点到终点的所有路径之和。而这些路径的数量，正是著名的斐波那契数列。

斐波那契数列是一个无穷数列，其特点是每个数字都是前两个数字之和，从 0 和 1 开始。也就是说，斐波那契数列的前几项为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……。

当 n 为 0 或 1 时，到达终点的路径只有一条，即原地不动或迈出一步。当 n 大于 1 时，到达终点的路径有两种可能：

从 n-1 级台阶迈出一级台阶，然后按照 n-1 级台阶的路径继续前进。
从 n-2 级台阶迈出两级台阶，然后按照 n-2 级台阶的路径继续前进。

因此，到达 n 级台阶的路径总数等于到达 n-1 级台阶的路径总数加上到达 n-2 级台阶的路径总数。这正是斐波那契数列的递推关系。

算法实现：动态规划的巧思

在计算机科学中，我们通常使用动态规划算法来解决此类问题。动态规划是一种自底向上的方法，它将问题分解成更小的子问题，然后逐步求解这些子问题，最终得到问题的整体解决方案。

对于 70 Climbing Stairs 问题，我们可以定义一个数组 dp[i]，其中 dp[i] 表示到达第 i 级台阶的路径总数。根据斐波那契数列的递推关系，我们可以写出如下动态规划方程：

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

其中，dp[0] = 1，dp[1] = 1。

从这个方程可以看出，要计算 dp[i]，我们需要知道 dp[i-1] 和 dp[i-2] 的值。因此，我们可以从最小的子问题开始，即 dp[0] 和 dp[1]，然后逐步求解更大的子问题。

def climb_stairs(n):
  """
  计算到达第 n 级台阶的路径总数。

  参数：
    n: 台阶总数

  返回：
    到达第 n 级台阶的路径总数
  """

  # 初始化 dp 数组
  dp = [0] * (n + 1)

  # 设置边界条件
  dp[0] = 1
  dp[1] = 1

  # 从第 2 级台阶开始，计算每一级台阶的路径总数
  for i in range(2, n + 1):
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

  # 返回到达第 n 级台阶的路径总数
  return dp[n]

深入思考：更优的解决方案

除了动态规划之外，还有其他更优的解决方案吗？答案是肯定的。我们可以使用矩阵乘法来进一步优化算法。

设矩阵 A 为：

A = [[1, 1], [1, 0]]

那么，矩阵 A^n 的 (1, 1) 元素正是到达第 n 级台阶的路径总数。

def climb_stairs_matrix(n):
  """
  使用矩阵乘法计算到达第 n 级台阶的路径总数。

  参数：
    n: 台阶总数

  返回：
    到达第 n 级台阶的路径总数
  """

  # 定义矩阵 A
  A = [[1, 1], [1, 0]]

  # 将矩阵 A 提升到 n 次方
  A_pow_n = matrix_pow(A, n)

  # 返回矩阵 A^n 的 (1, 1) 元素
  return A_pow_n[0][0]


def matrix_pow(A, n):
  """
  将矩阵 A 提升到 n 次方。

  参数：
    A: 矩阵
    n: 次方

  返回：
    矩阵 A^n
  """

  if n == 1:
    return A

  if n % 2 == 0:
    half_pow = matrix_pow(A, n // 2)
    return half_pow @ half_pow
  else:
    return A @ matrix_pow(A, n - 1)