动态规划的奥秘——直觉思维的反面攻略

2023-12-10 02:17:53

当我们遇到一个复杂的问题时，第一反应往往是依靠直觉来解决它。然而，直觉思维并不总是可靠的，它可能会让我们做出错误的判断。在动态规划中，我们必须抛弃直觉思维，用一种理性的方法来分析问题。

动态规划的关键在于状态定义和状态转移。状态定义是指我们用来问题状态的变量，状态转移是指我们用来从一个状态转移到另一个状态的规则。一旦我们定义好了状态和状态转移，就可以使用递归或记忆化搜索的方法来求解问题。

动态规划是一种非常强大的算法技术，它可以用来解决各种各样的优化问题。在计算机科学、运筹学、经济学、管理科学等领域都有着广泛的应用。

动态规划的应用：硬币问题

让我们来看一个动态规划的经典例子：硬币问题。

硬币问题是这样的：给定若干种面额的硬币，以及一个目标金额，问我们最少需要多少枚硬币才能凑出这个目标金额。

例如，假设我们有以下几种硬币：

以及一个目标金额为 27 分。

那么，最少需要多少枚硬币才能凑出 27 分呢？

如果我们用直觉来解决这个问题，可能会想到这样的方法：先用一枚 25 分硬币，再用两枚 1 分硬币。这样，我们就凑出了 27 分，一共用了 3 枚硬币。

然而，这不是最优策略。最优策略是先用一枚 10 分硬币，再用一枚 5 分硬币，再用两枚 1 分硬币。这样，我们就凑出了 27 分，一共用了 4 枚硬币。

为什么说这是最优策略呢？因为如果我们用其他策略，就需要用到更多的硬币。例如，如果我们先用一枚 25 分硬币，再用一枚 10 分硬币，再用一枚 1 分硬币，那么我们就需要用到 5 枚硬币。

因此，最优策略就是先用一枚 10 分硬币，再用一枚 5 分硬币，再用两枚 1 分硬币。

动态规划的步骤如下：

定义状态和状态转移。

对于硬币问题，我们可以定义状态为目标金额。状态转移是指从一个目标金额转移到另一个目标金额。例如，从目标金额 27 分转移到目标金额 26 分，可以使用一枚 1 分硬币。
使用递归或记忆化搜索的方法求解问题。

对于硬币问题，我们可以使用递归的方法来求解。例如，我们可以先求出目标金额为 26 分的最少硬币数，然后再加上一枚 1 分硬币，就可以得到目标金额为 27 分的最少硬币数。
组合子问题的解得到问题的整体解。

对于硬币问题，我们可以将各个目标金额的最少硬币数组合起来，得到问题的整体解。