生成函数（四）：教你快速求部分分式分解

闲谈

2022-12-15 19:57:57

部分分式分解：将复杂生成函数化繁为简

在处理生成函数时，我们经常会遇到分母是多项式的复杂函数。为了化简这些函数，进行部分分式分解是至关重要的。在这篇博客中，我们将探索部分分式分解的概念、方法和应用。

什么是部分分式分解？

部分分式分解是一种数学技术，将有理函数分解为一组简单分式的和。这些简单分式的分母都是一次多项式，分子是常数或一次多项式。换句话说，我们把一个复杂的分式拆分成多个小块，更容易处理。

如何进行部分分式分解？

有两种常见的方法进行部分分式分解：

求导法： 通过对有理函数求导，获得一个新函数，然后分解成简单分式。
配方法： 将有理函数的分子和分母分别乘以一个合适的因式，使分母分解为一次多项式的乘积，再分解成简单分式。

代码示例：求导法

import sympy

def partial_fraction_decomposition_by_derivative(f):
    """使用求导法进行部分分式分解。

    参数：
        f：有理函数。

    返回：
        分式分解后的结果。
    """

    # 求导
    df = f.diff(x)

    # 分解分子和分母
    num, den = sympy.fraction(df)

    # 分解分母
    factors = sympy.factor(den)

    # 创建分式分解的式子
    result = 0
    for factor in factors:
        result += num / factor

    return result

代码示例：配方法

import sympy

def partial_fraction_decomposition_by_factorization(f):
    """使用配方法进行部分分式分解。

    参数：
        f：有理函数。

    返回：
        分式分解后的结果。
    """

    # 分解分子和分母
    num, den = sympy.fraction(f)

    # 分解分母
    factors = sympy.factor(den)

    # 创建分式分解的式子
    result = 0
    for factor in factors:
        result += num * factor.as_numer_denom()[0] / factor

    return result