妙不可言，一题10000种情况，只要你想得到的，它就有

人工智能

2023-10-18 20:56:00

引言

哈喽大家好，今天我们来唠唠codeforces 1425场比赛的E题。这道题的难度被评为Medium，全场只有157人通过。对于难度为Medium的题来说，通过率这么低，是不是有点太不给力了呢？

题目

这道题的题目是这样的：

给定一个物品集合，每个物品都有自己的价值和重量。现在需要从这个物品集合中选出一些物品，使得它们的总价值最大，同时总重量不超过背包的容量。

其中，每个物品可以被选择多次，但是每次只能选择一个。

乍一看，这道题是不是和背包问题很像？没错，这道题就是背包问题的变形，称为多重背包问题。

解题思路

对于多重背包问题，我们可以使用动态规划来解决。动态规划的思想是将问题分解成若干个子问题，然后逐个解决这些子问题，最后将子问题的解组合起来得到原问题的解。

对于这道题，我们可以定义状态dp[i][j]，表示前i个物品放入容量为j的背包中的最大价值。

根据动态规划的思想，我们可以得到状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

其中，w[i]和v[i]分别表示第i个物品的重量和价值。

为了优化空间复杂度，我们可以使用状态压缩的思想。状态压缩的思想是将状态用二进制数表示，这样就可以用一个整数来表示多个状态。

对于这道题，我们可以将容量j用二进制数表示，这样就可以用一个整数来表示所有容量为j的状态。

代码实现

使用状态压缩后的代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 1010;
const int MAXW = 1010;

int n, m;
int w[MAXN], v[MAXN];
int dp[(1<<MAXW)];

int main() {
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> w[i] >> v[i];
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = (1<<MAXW)-1; j >= w[i]; j--) {
      dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
    }
  }
  cout << dp[(1<<MAXW)-1] << endl;
  return 0;
}