刷题者指南：征服柱状图中最大的矩形（题号84）

2023-09-28 12:58:32

在计算机科学领域，算法设计是一门重要的学科，它旨在解决各种各样的计算问题，柱状图中最大的矩形便是其中之一。那么，如何有效地求解这一问题呢？

本文将介绍一种经典的算法——动态规划算法，来解决题号84：柱状图中最大的矩形。动态规划算法是一种自顶向下的递归方法，它将问题分解成较小的子问题，逐步解决并保存子问题的答案，从而达到解决整个问题的目的。

问题概述

给定 n 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 1。求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。

例如，对于柱状图 [2, 1, 5, 6, 2, 3]，最大矩形面积为 10，如下图所示：

  +-------+  
  |       |  
  |   +---+ |  
  |   |   |  
  +---+---+  
     1   5

算法步骤

1. 初始化

将输入的柱状图看作一个直方图，每个柱子的宽度为1。
定义一个数组 heights 来存储柱状图中每个柱子的高度。
定义一个数组 max_areas 来存储柱状图中每个柱子向左延伸的最大矩形面积。
定义一个栈 stack 来存储柱状图中已经处理过的柱子。

2. 遍历柱状图

对于柱状图中的每个柱子，从左到右依次进行遍历。
如果当前柱子的高度大于等于栈顶柱子的高度，则将其压入栈中。
如果当前柱子的高度小于栈顶柱子的高度，则弹出栈顶柱子，并计算当前柱子向左延伸的最大矩形面积。
将计算出的最大矩形面积存储在 max_areas 数组中。

3. 计算最大矩形面积

遍历完所有柱子后，栈中剩余的柱子都是柱状图中最右边的柱子。
对于栈中的每个柱子，计算其向右延伸的最大矩形面积。
将计算出的最大矩形面积与 max_areas 数组中的最大值进行比较，取较大值作为柱状图中最大的矩形面积。

代码示例

def largest_rectangle_area(heights):
    # 初始化
    max_areas = [0] * len(heights)
    stack = []

    # 遍历柱状图
    for i, height in enumerate(heights):
        # 如果栈为空或当前柱子的高度大于等于栈顶柱子的高度，则将其压入栈中
        if not stack or heights[stack[-1]] <= height:
            stack.append(i)
        # 如果当前柱子的高度小于栈顶柱子的高度，则弹出栈顶柱子，并计算当前柱子向左延伸的最大矩形面积
        else:
            while stack and heights[stack[-1]] > height:
                top = stack.pop()
                # 计算当前柱子向左延伸的最大矩形面积
                max_areas[top] = heights[top] * (i if not stack else i - stack[-1] - 1)
            stack.append(i)

    # 计算栈中剩余柱子的最大矩形面积
    while stack:
        top = stack.pop()
        max_areas[top] = heights[top] * (len(heights) if not stack else len(heights) - stack[-1] - 1)

    # 返回柱状图中最大的矩形面积
    return max(max_areas)