如何一次点亮所有灯？破解排列组合的谜团

在开始解答这个问题之前，让我们先明确一下一些基本规则：

• 每次按一下开关，都会影响开关所在的那盏灯以及它两侧的灯。
• 如果一盏灯两侧的灯都处于熄灭状态，那么按一下开关会点亮它。
• 如果一盏灯两侧的灯都处于点亮状态，那么按一下开关会熄灭它。
• 如果一盏灯两侧的灯状态不同，那么按一下开关不会改变它的状态。

直线排列的灯

对于直线排列的灯，我们只需要按N次开关就能让所有灯都点亮。具体方法如下：

1. 按一下第一个开关，点亮第一盏灯。
2. 按一下第二个开关，熄灭第二盏灯，点亮第三盏灯。
3. 按一下第三个开关，熄灭第三盏灯，点亮第四盏灯。
4. 以此类推，直到按一下第N个开关，点亮最后一盏灯。

环形排列的灯

对于环形排列的灯，情况稍微复杂一些。我们需要按N+1次开关才能让所有灯都点亮。具体方法如下：

1. 按一下第一个开关，点亮第一盏灯和最后一盏灯。
2. 按一下第二个开关，熄灭第二盏灯，点亮第三盏灯。
3. 按一下第三个开关，熄灭第三盏灯，点亮第四盏灯。
4. 以此类推，直到按一下第N个开关，点亮倒数第二盏灯。
5. 最后，按一下第一个开关，点亮最后一盏灯。

证明

要证明这些方法是最优的，我们需要证明在任何情况下，都不可能用更少的开关次数让所有灯都点亮。

直线排列的灯

对于直线排列的灯，我们可以使用归纳法进行证明。

• 基本情况： 当N=1时，只需按一下开关就能点亮唯一的一盏灯。
• 归纳假设： 假设当N=k时，只需按k次开关就能让所有灯都点亮。
• 归纳步骤： 当N=k+1时，我们可以先按k次开关，让前k盏灯都点亮。然后，按一下第k+1个开关，点亮最后一盏灯。因此，只需按k+1次开关就能让所有灯都点亮。

根据归纳原理，当N为任意正整数时，只需按N次开关就能让所有灯都点亮。

环形排列的灯

对于环形排列的灯，我们也可以使用归纳法进行证明。

• 基本情况： 当N=1时，只需按一下开关就能点亮唯一的一盏灯。
• 归纳假设： 假设当N=k时，只需按k次开关就能让所有灯都点亮。
• 归纳步骤： 当N=k+1时，我们可以先按k次开关，让前k盏灯都点亮。然后，按一下第k+1个开关，点亮第k+1盏灯和第1盏灯。最后，按一下第1个开关，点亮最后一盏灯。因此，只需按k+1次开关就能让所有灯都点亮。

根据归纳原理，当N为任意正整数时，只需按N+1次开关就能让所有灯都点亮。

结论

通过排列组合的巧妙运用，我们找到了在最少次数内让所有灯都点亮的最佳方法。对于直线排列的灯，只需按N次开关；而对于环形排列的灯，只需按N+1次开关。下次遇到这样的灯谜时，不妨试试这些方法，体验一下数学的魅力！