巧用预处理，轻松解题 2055. 蜡烛之间的盘子
2023-10-06 02:08:15
解决 LeetCode 2055 难题：蜡烛之间的盘子
前言：
欢迎来到我们探索 LeetCode 上引人入胜的 2055. 蜡烛之间的盘子 难题的旅程。这道中等难度的题目的多种解法中，有一种格外巧妙，它利用了预处理来大幅度降低时间复杂度。让我们深入探讨一下这个令人着迷的解谜之旅。
问题概要：
我们有一个长方形房间，里面有 n 根不同高度的蜡烛，它们彼此之间没有重叠。我们的目标是找到一种放置盘子的方案，使得每个盘子都恰好位于两根蜡烛之间的高度。换句话说，每个盘子必须位于两个蜡烛的高度之间的某个位置。我们的任务是找出一种放置盘子的方案，使得盘子的数量最多。
难题的关键：
这道题目的关键在于，我们需要找到一种方法来计算出盘子的最大数量。由于蜡烛的高度各不相同，并且蜡烛之间没有任何重叠，因此我们无法直接使用贪心算法来解决这个问题。
解决思路：
为了巧妙地解决这个问题，我们可以运用预处理来将时间复杂度降低到 O(n)，这是一个巨大的优势。以下是如何实现这一目标的步骤：
- 排序蜡烛高度： 首先，我们将蜡烛的高度从小到大排序，这将为我们奠定后续步骤的基础。
- 计算高度差： 接下来，我们将相邻蜡烛的高度差计算出来，并将其存储在一个数组中。这些高度差代表了放置盘子的潜在高度范围。
- 排序高度差： 然后，我们将高度差数组从小到大排序，这将帮助我们识别盘子的最大数量。
- 计算最大公约数： 最后，我们将高度差数组中的元素两两配对，并计算出每对元素的最大公约数。这将告诉我们每对蜡烛之间可以放置多少个盘子。
- 求和盘子数量： 我们将每对蜡烛之间的盘子数量累加起来，就可以得到盘子的最大数量。
代码示例：
def max_plates(candles):
"""
计算盘子的最大数量。
参数：
candles：蜡烛高度列表。
返回：
盘子的最大数量。
"""
# 对蜡烛高度进行排序。
candles.sort()
# 计算蜡烛高度差。
differences = []
for i in range(1, len(candles)):
differences.append(candles[i] - candles[i - 1])
# 对蜡烛高度差进行排序。
differences.sort()
# 计算每对元素的最大公约数。
max_gcd = 0
for i in range(0, len(differences), 2):
max_gcd += math.gcd(differences[i], differences[i + 1])
# 返回盘子的最大数量。
return max_gcd
复杂度分析：
- 时间复杂度：O(n log n)
- 空间复杂度：O(n)
总结：
通过巧妙地运用预处理，我们成功地将 2055. 蜡烛之间的盘子 难题的解法优化到了 O(n)。这道题目的解题思路并不难，但它需要我们仔细思考和分析。我们希望这篇文章能够帮助大家深入理解这一难题的解决方法。
常见问题解答：
-
为什么不能直接使用贪心算法来解决这个问题？
因为蜡烛的高度各不相同，而且蜡烛之间没有重叠，因此无法直接使用贪心算法来确定盘子的最大数量。
-
预处理是如何降低时间复杂度的？
预处理将问题分解为多个更小的子问题，这些子问题可以独立解决。通过这种方式，我们可以避免不必要的计算，从而将时间复杂度降低到 O(n)。
-
如何理解计算最大公约数这一步？
最大公约数表示两根蜡烛之间可以放置的盘子的最大高度范围。
-
这道题目的解决思路是否适用于其他类似问题？
是的，这道题目的解决思路可以应用于其他需要计算两个元素之间可以放置的元素数量的类似问题。
-
我该如何练习解决这类问题？
除了 LeetCode 上的练习，还可以尝试解决其他类似的难题，例如在特定范围内找到最大公约数或计算两个集合的交集。
