从例子学分而治之：数组中第k大元素、快排、归并排序的灵魂

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2023-09-03 03:47:46

何为分而治之

分而治之，顾名思义，就是把一个复杂的大问题分解成若干个相对独立的小问题，分别解决这些小问题，然后再把它们的结果合并起来，最终得到大问题的解决结果。这种思想广泛应用于各种算法和计算任务中，是算法设计和分析的重要基础。

详解LeetCode 215：数组中第k大元素

题目
给定一个整数数组 nums 和一个整数 k，找出数组中第 k 大的元素。
请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 大元素，而不是第 k 个不同的元素。

示例：
输入：nums = [3,2,1,5,6,4], k = 2
输出：5

解题思路：

方法一：排序后取值
这是最简单的解法，先将数组 nums 排序，然后直接取排序后的第 k 个元素即可。

def findKthLargest_sort(nums, k):
    """
    :type nums: List[int]
    :type k: int
    :rtype: int
    """
    nums.sort()  # 排序
    return nums[k - 1]  # 取排序后的第 k 个元素

方法二：快速选择
快速选择是分而治之的典型应用。它先随机选择一个元素作为枢轴，然后将数组划分为两个部分：小于枢轴的元素和大于枢轴的元素。再递归地对这两个部分应用同样的过程，直到找到第 k 大的元素。

def findKthLargest_quick_select(nums, k):
    """
    :type nums: List[int]
    :type k: int
    :rtype: int
    """
    def quick_select(left, right):
        """
        在 nums[left, right] 范围内找到第 k 大的元素
        """
        # 随机选择一个枢轴
        pivot = random.randint(left, right)
        # 将数组划分为两部分
        nums[pivot], nums[right] = nums[right], nums[pivot]
        i = left - 1
        for j in range(left, right):
            if nums[j] <= nums[right]:
                i += 1
                nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
        # 将枢轴放回正确的位置
        nums[i + 1], nums[right] = nums[right], nums[i + 1]
        # 如果 i + 1 等于 k，则枢轴就是第 k 大的元素
        if i + 1 == k:
            return nums[i + 1]
        # 否则递归地对两部分应用同样的过程
        elif i + 1 < k:
            return quick_select(i + 2, right)
        else:
            return quick_select(left, i - 1)

    return quick_select(0, len(nums) - 1)

方法三：堆排序
堆排序也是分而治之的典型应用。它先将数组构建成一个大根堆（或小根堆），然后依次弹出堆顶元素，即可得到排序后的数组。第 k 大的元素就是第 k 次弹出的元素。

def findKthLargest_heap_sort(nums, k):
    """
    :type nums: List[int]
    :type k: int
    :rtype: int
    """
    # 将数组构建成大根堆
    heapq.heapify(nums)
    # 依次弹出堆顶元素
    for _ in range(k - 1):
        heapq.heappop(nums)
    # 堆顶元素就是第 k 大的元素
    return heapq.heappop(nums)