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使用R语言Bootstrap的岭回归和自适应LASSO回归可视化

人工智能

导言

在机器学习中，回归模型被广泛用于预测连续响应变量。其中，岭回归和自适应LASSO回归是两种常用的正则化回归方法。为了更好地理解这些方法，本文将使用R语言的glmnet软件包对岭回归和自适应LASSO回归进行可视化，并探讨它们在系数估计和预测性能方面的差异。

岭回归

岭回归是一种正则化回归方法，通过在损失函数中添加一个额外的惩罚项来解决过拟合问题。惩罚项与模型系数的平方和成正比，这将导致系数收缩。岭回归的损失函数如下：

L(β) = 1/2n Σ(y_i - β_0 - Σβ_j * x_ij)^2 + λΣβ_j^2

其中，n为样本数量，y_i为响应变量，β_0为截距，β_j为系数，x_ij为自变量，λ为正则化参数。

自适应LASSO回归

自适应LASSO回归是LASSO回归的一种变体，它使用不同的惩罚项来收缩系数。LASSO回归的惩罚项与系数的绝对值成正比，而自适应LASSO回归的惩罚项则与系数的绝对值平方根成正比。自适应LASSO回归的损失函数如下：

L(β) = 1/2n Σ(y_i - β_0 - Σβ_j * x_ij)^2 + λΣ|β_j|^{1/2}

可视化

为了比较岭回归和自适应LASSO回归，我们将使用R语言的glmnet软件包对一个模拟数据集进行可视化。该数据集包含1000个样本和10个自变量。

首先，我们使用10折交叉验证对岭回归和自适应LASSO回归进行训练，并记录不同正则化参数下的系数估计和预测误差。

library(glmnet)

# 生成模拟数据集
set.seed(123)
n <- 1000
p <- 10
X <- matrix(rnorm(n * p), nrow = n, ncol = p)
beta <- rnorm(p)
y <- X %*% beta + rnorm(n)

# 10折交叉验证
cv.ridge <- cv.glmnet(X, y, family = "gaussian", alpha = 0)
cv.lasso <- cv.glmnet(X, y, family = "gaussian", alpha = 1)

接下来，我们将可视化岭回归和自适应LASSO回归的系数估计和预测误差。

系数估计

# 系数估计
plot(cv.ridge$lambda, cv.ridge$glmnet.fit$beta, type = "l", lwd = 2, col = "blue", main = "Ridge Regression Coefficients", xlab = "Lambda", ylab = "Coefficient")
plot(cv.lasso$lambda, cv.lasso$glmnet.fit$beta, type = "l", lwd = 2, col = "red", main = "Adaptive LASSO Coefficients", xlab = "Lambda", ylab = "Coefficient")

预测误差

# 预测误差
plot(cv.ridge$lambda, cv.ridge$cvm, type = "l", lwd = 2, col = "blue", main = "Ridge Regression Prediction Error", xlab = "Lambda", ylab = "CV Error")
plot(cv.lasso$lambda, cv.lasso$cvm, type = "l", lwd = 2, col = "red", main = "Adaptive LASSO Prediction Error", xlab = "Lambda", ylab = "CV Error")

讨论

可视化结果显示，岭回归和自适应LASSO回归在系数估计和预测性能方面存在差异。

系数估计

  • 随着正则化参数λ的增大，岭回归和自适应LASSO回归的系数都会收缩。
  • 自适应LASSO回归的系数收缩幅度比岭回归更大，这意味着自适应LASSO回归更倾向于选择较少的非零系数。

预测性能

  • 在低正则化参数下，岭回归和自适应LASSO回归的预测误差相似。
  • 随着正则化参数λ的增大，岭回归的预测误差逐渐减小，而自适应LASSO回归的预测误差逐渐增大。这表明自适应LASSO回归更倾向于过拟合。

结论

岭回归和自适应LASSO回归都是正则化回归方法，但它们在系数估计和预测性能方面存在差异。岭回归倾向于收缩所有系数，而自适应LASSO回归倾向于选择较少的非零系数。自适应LASSO回归在低正则化参数下具有与岭回归相似的预测性能，但在高正则化参数下更容易过拟合。因此，在选择正则化回归方法时，需要根据具体的数据集和建模目的进行权衡。

参考文献